Секрети зору і наука геометрія

Що таке кут зору

Всякий предмет має лінійні розміри: довжину, ширину і висоту. Але як тільки він потрапляє в наше поле зору, то набуває ще один розмір - кутовий. Давайте розберемося, що це означає. Коли ми дивимося на предмет, то через кожну його точку можна провести від очі промінь, званий променем зору. Зрозуміло, що їх буде нескінченно багато. Будь-які два променя зору утворюють кут зору. Той кут зору, під яким предмет видно цілком, і прийнято називати кутовим розміром предмета. Як і всякий плоский кут, він вимірюється в градусах, хвилинах, секундах або в радіанах.

Поняття кутового розміру використовується в геометричній оптиці, геодезії, астрономії. Зустрічається воно і в геометрії, але тут прийнято говорити про вугілля зору, під яким із зазначеної точки «видно» даний відрізок - висота фігури, її діаметр та ін.

Кутовий розмір залежить від вибору точки спостереження, в чому легко переконатися, вимірявши його з двох точок, розташованих на різній відстані від предмета. Залежно від характеру предмета величину кута зору, під яким він видно, визначають за допомогою спеціальних приладів, наприклад, для вимірювань на місцевості використовується теодоліт, для визначення висоти небесних об'єктів над горизонтом - секстант і т.д.

У давнину з тією ж метою застосовували більш примітивні інструменти. Один з них - посох Якова, попередник сучасного секстанта. Він представляв собою стрижень, за яким ковзала поперечна рейка; на стрижень були нанесені поділки, що відповідають деяким кутах (їх попередньо вимірювали транспортиром). Спостерігач підносив один кінець палиці до ока, інший направляв в сторону вимірюваного предмета і потім переміщував рейку до тих пір, поки вона одним кінцем не "торкнеться» лінії горизонту, а іншим - небесного об'єкта. Після цього залишалося тільки «зняти показання» - подивитися, яким поділу на стрижні відповідає рейка. Цей зручний і простий інструмент легко виготовити самому, він цілком годиться для зразкового вимірювання кутів в будь-якій площині.

Нарешті, оцінити кутовий розмір предмета можна буквально «голими руками». Кутоміром послужить кисть руки, якщо, звичайно, знати деякі кути. Наприклад, ніготь вказівного пальця витягнутої перед собою руки ми бачимо під кутом, приблизно рівним 1 град., Кулак - під кутом 10 град., А проміжок між кінцями розставлених великого пальця і ​​мізинця - під кутом 22 град.

Кутовий розмір і відстань

Кутовий розмір предмета - величина не постійна і залежить від відстані предмета від ока: чим предмет далі, тим менше кут зору, під яким він видно.

Щоб зрозуміти причину цього явища, згадаємо, що на сітківці ока зображення предмета виходить зворотним і зменшеним. При видаленні предмета його зображення на сітківці стає менше, тому він і здається нам, що зменшується. При скороченні відстані зображення, навпаки, збільшується і предмет здається збільшується. Мовою геометрії це означає, що величина кута зору обернено пропорційна відстані до предмета.

Така особливість зору допомагає зрозуміти деякі наші дії і явища навколо нас. Чому, наприклад, щоб розглянути деталі висить на стіні картини або дрібний шрифт на сторінці книги, доводиться підходити до полотна ближче або підносити текст до очей. Відповідь проста: нам необхідно збільшити зображення на сітківці, а для цього слід збільшити кут зору, що ми і робимо, зменшуючи відстань до предмета.

Інший приклад. Уявіть собі дві «тікають» вдалину паралельні лінії (залізничні рейки, краю прямолінійного шосе). Вони здаються «сходяться» в одній точці. Таке ж враження створюють ряди телеграфних стовпів або дерев уздовж дороги. Зір ніби намагається переконати нас в тому, що всупереч законам геометрії паралельні прямі перетинаються. Але це лише ілюзія, яка виникає через видимого зменшення відстані між прямими у міру їх видалення.

Під одним кутом зору

Часто доводиться стикатися і з іншою ситуацією. Якщо розглядати предмети однакової форми, але різних лінійних розмірів під одним і тим же кутом зору, то здається, що їх розміри рівні. Це підтверджує простий досвід. Збудуйте по зростанню кілька матрьошок і по-дивіться на них з боку найменшої фігурки, а потім повільно відійдіть назад, не змінюючи напрямку погляду. Ви побачите, як матрьошки почнуть «зливатися», загороджуючи одна іншу. Нарешті, коли ви відсуне на деяку відстань, буде видно тільки одна матрьошка - найближча до вас. Якщо тепер змістити фігурки в сторони так, щоб всі вони були повністю видно, то візуально матрьошки будуть здаватися одного розміру.

Схоже явище можна спостерігати і в природі. Наприклад, при повному сонячному затемненні місячний диск в точності затуляє сонячний. У цей момент спостерігач із Землі бачить обидва небесних тіла під одним кутом зору. Побачити таке унікальне явище було б неможливо, якби лінійні розміри Сонця і Місяця, а також відстані від них до Землі не перебували в певній математичної залежності.

З точки зору геометрії в обох випадках ми маємо справу з подобою фігур, точніше кажучи, з Гомотетія, з центром, що збігається з оком спостерігача. Тому, якщо два схожих за формою предмета видно під одним кутом зору, то їх лінійні розміри відрізняються в стільки ж разів, у скільки разів відрізняються відстані до предметів. Таким чином, діаметри Сонця і Місяця (D і d) і відстані від цих тіл до Землі (L і l) пов'язані простою формулою:

Ми розкрили далеко не всі секрети зору. Особливості зору, коли людина дивиться двома очима, пояснення деяких зорових ілюзій, створення візуальних ефектів в архітектурі та живопису.