початок розділу Виробничі, аматорські радіоаматорські Авіамодельний, ракетомодельного Корисні, цікаві	хитрощі майстру електроніка фізика технології винаходи	таємниці космосу таємниці Землі таємниці Океану хитрощі Карта розділу
Використання матеріалів сайту дозволяється за умови посилання (для сайтів - гіперпосилання)

МЕХАНІКА ДЛЯ квантової механіки
Про принципи найкоротшому часі І найменшої дії

Частина 2

к.т.н., Юдін Сергій Юрійович

Залиште коментар

Як і обіцяв в статті присвяченій двом заходам механічної форми руху матерії, щоб завершити питання про двох заходи, я зараз розгляну яке відношення має до цього питання така фізична величина як "дія". Чому ж така величина як "дія" претендує на роль ще однієї заходи механічного руху? А ось тут виходить просто замкнене коло. Претендує вона тому, що серед безлічі різних варіаційних принципів є і такий як принцип найменшої дії, а він в свою чергу виділився із загального натовпу різних величин оптимізуються при різних варіаційних принципах тому, що є квант дії та ще й має офіційний статус найменшої дії в Природі . А назвали цю величину (постійну Планка) квантом дії, тобто отмеренной порцією механічного руху, тому що розмірність цієї величини збіглася з розмірністю величини, яку треба мінімізувати в принципі найменшої дії (і там і там джоуль помножити на секунду), а не з якоюсь іншою величиною, наприклад, з величиною найменшого примусу, яку треба мінімізувати в принципі Гауса, і яка має розмірність джоуль розділити на секунду в квадраті (втім фізичний зміст і цієї величини і не зрозумілий як і першої). Давайте спробуємо все ж відокремити дію від кванта дії і розглянути обидві ці величини виходячи не з їх розмірності, а з їх фізичного сенсу.

І почнемо розгляд принципу найменшої дії з того, що сама назва цього принципу, як найменшої дії, що не вдале на що вказували всі, хто займався його розробкою (Ейлер, Лагранж і інші) так як по-перше величина дії при дотриманні цього принципу може бути не тільки мінімальної, а й максимальної, тобто має місце не мінімум, а екстремум функції, а по-друге саме поняття "дії" не має ніякого відношення не тільки до кванту дії, як якийсь мінімальній величині, але і взагалі до "дії" як такого, тобто взаємодії між тілами. І з таким же успіхом його можна було б назвати принципом найменшого зла або найменших потрясінь або найбільшої закоханості, а вже виходячи з того, що конкретний автор хоче отримати використовуючи цей принцип, він і наповнював би змістом поняття зла, кохання або потрясінь. І взагалі складається таке враження, що кожен автор викладаючи свій варіант цього принципу як би пропонує вам зіграти в карти, а після закінчення гри, виходячи з того що вийшло, оголошує вам, що він виграв бо ми грали в очко або при іншому розкладі все одно каже, що він виграв бо ми грали в дурня.

А таку назву цей принцип отримав ще в 1744 році, коли навіть не існувало таких понять як енергія, потужність і т.д., саме виходячи з того, що малося на увазі досягнення якийсь мети, як, наприклад, при грі в карти, а не виходячи з фізичного змісту. Мопертюї дав йому цю назву виходячи з метафізичних уявлень про Природі, де все має відбуватися з якихось розумних міркувань нібито Природа в своїх діях переслідує якісь цілі, які сама перед собою і ставить, тобто мається на увазі наявність Бога, який здійснює в Природі тільки розумні процеси. Але ж крім розумності поведінки в цьому принципі дійсне рух в конкретний час доводиться розраховувати за допомогою майбутнього руху, тобто виходить, що даний залежить від майбутнього і, отже, без божественного передбачення тут ніяк не обійтися. І тільки після цього принцип принесли математичний зміст великі геометри (читай математики) Ейлер і Лагранж, а потім і Гамільтон, але божественне начало так і продовжує витати над цим принципом.

Правда багато вчених відкидають божественне начало в цьому принципі, але якось не дуже переконливо. Ось, наприклад, Планк [5], який, природно, після свого кванта дії, просто зобов'язаний обожнювати цей принцип, вже в ХХ столітті пише про його сутність так "У зв'язку з цим треба згадати про теодицеї Лейбніца, в якій висунуто тезу про те , що істинним світом серед усіх світів, які могли б бути створені, є той світ, який поряд з неминучим злом містить в собі максимум добра. Ця теза є не чим іншим, як варіаційним принципом, викладеному в такій же формі, як виник пізніше принцип найменшої дії. Неминуче зчеплення добра і зла грає при цьому роль запропонованих умов, і ясно, що фактично з цієї тези могли б бути виведені всі особливості дійсного світу, якби вдалося математично точно сформулювати, з одного боку, міру для кількості добра, з іншого боку - запропоновані умови ". Я перепрошую за таку довгу цитату, але питання дійсно дуже серйозний, тому що за допомогою принцип найменшої дії і зараз намагаються отримати "все особливості дійсного світу". Спочатку з механіки цей принцип стараннями Гельмгольца перебрався до термодинаміки, а зараз вже і в квантову механіку і в біологію і в економіку.

За молодості і Ейлер, найбільший геометр всіх часів і народів, який і заклав математичні основи в цей принцип (ризикну припустити, що і основи Російської математичної школи), теж надавав йому теологічне значення і дуже багато приділяв йому уваги, але згодом його ентузіазм вичерпався і він, і як і Лагранж, відкидав претензії цього принципу на загальну значимість і на звання основного загального закону природи. Але ось, наприклад, вже в сучасному Цитатник [3] (вважай офіційному підручнику СРСР, а тепер Росії) цей принцип саме основним законом Природи і оголошується. Хоча, я думаю, це вже напевно більше відноситься не до науки, а до політики, адже, як я вже зазначав у попередній статті на прикладі з лагранжіаном, головний проповідник цього принципу Ландау з коньюктурних міркувань дуже швидко змінює свої наукові погляди виходячи з "офіційною "точки зору в науці. І хоча формально начебто все сучасні вчені відкидають існування Бога, але використовуючи цей принцип вони офіційно вносять його в науку. Так, історія у цього принципу гучна (навіть Вольтер руку доклав як письменник) і історично його ідея була першою в ряду багатьох варіаційних принципів, але ось практичної користі від нього виявилося ще менше, ніж від рівнянь Лагранжа 2-го роду, можливості яких розглянуті мною в [9]. Наприклад, Пуассон назвав його "лише марним правилом", а Планк писав, що він "не чинив ніякого істотного практичного впливу на науковий прогрес" [5] (як Ви зрозуміли, цей вислів звичайно ж відносилося до прогресу до появи його кванта дії).

Але спробуємо все ж розібратися як по суті самого принципу найменшої дії, так і самої оптимізується величини, тобто дії. Вперше схожа на цей принцип ідея, використана в принципі найкоротшого часу руху світла, була висловлена ще Ферма [8] 1662 р, а після 1682 р і Лейбніцем виходячи з коефіцієнта заломлення світла (це взагалі дивно, тому що про природу світла тоді було ще більш туманне уявлення, ніж про закони механіки). Тим ні менш ця ідея найкоротшого часу Ферма наштовхнула І. Бернули [2] в 1696 р виходячи тільки з цього голого принципу найкоротшого часу руху на аналогічне рішення задачі для руху механічних тіл у полі тяжіння Землі. І що найдивніше так це те, що у нього все дуже вдало вийшло. На жаль завдання Ферма вирішена геометрично, а в рішенні Бернуллі хоча вже і використовується диференціальне числення, основи якого не за довго до цього заклали Лейбніц і Ньютон, але це рішення зараз теж важко сприймається, тому що тоді навіть координатні осі розташовувалися не так як зараз. Про всяк випадок нагадаю, що всі завдання тоді вирішувалися геометрично і, наприклад, Ньютон в своїх Засадах, які були написані приблизно в цей же час, всі завдання вирішував саме так, та й сама алгебраїчна запис рівнянь (причому самі її початку) була введена Виетом тільки за 100 років до цього. Тому рішення задачі Бернуллі я дам в скороченні і в сучасних термінах, а сучасне математичне рішення задачі Ферма приведу з роботи [1].

На Рис.1 представлена задача про найменшому часу Ферма, в якій доводиться, що промінь світла при русі відразу в двох середовищах з різним опором руху, які на малюнку розділені горизонтальною лінією (вісь x), наприклад, з повітря у воду пройде не по прямій ACB, що з'єднує дві точки A і B, а по лінії ADB бо час руху при цьому буде мінімальним. При цьому відношення синусів кутів alfa1 до alfa2 дорівнюватиме коефіцієнту заломлення між цими середовищами, тобто відношенню швидкостей світла в цих двох середовищах, які можна вважати величиною пропорційною розрядженого речовини. Як постулату при вирішенні цього завдання Ферма прийняв, що Природа діє найбільш легкими і доступними шляхами. І виходячи з цього він доводить, що найбільш легким шляхом, вийшовши з точки A, світло досягне точки B якщо буде рухатися по шляху ADB, тому що при цьому він витратить на це мінімальний час і, отже, це і буде справжній шлях світла.

Якщо у нас градієнт швидкості по осі x не змінюватиметься, то ми легко знайдемо закон руху променя, щоб він за мінімальний час досяг точки B. Виходячи з геометричних міркувань, і знаючи швидкість променя над віссю абсцис V1 і під нею V2, знайдемо загальний час руху променя

Тепер візьмемо похідну dt / dx і прирівняємо її нулю. У нас вийде

Це не що інше, як закон заломлення Снеліуса, тільки записаний в іншій формі і тому V1 = c / n1, а V2 = c / n2, де c - швидкість світла у вакуумі, а n1 і n2 - це абсолютні показники заломлення середовища щодо вакууму і ми можемо записати

Тут вже n21 - це звичне нам значення показника заломлення другого середовища відносно першого. Якщо ми нижче точки B розташуємо третій шар середовища з коефіцієнтом заломлення n3, тобто швидкістю руху світла в ньому V3, то ми і зможемо записати

Таким чином ми бачимо, що для мінімального часу руху променя світла, що переходить послідовно з середовища з одним коефіцієнтом заломлення в середу з іншим коефіцієнтом заломлення, досить, щоб дотримувався закон заломлення Снеліуса, а він, природно, буде дотримуватися, якщо не брати до уваги випадки, коли відбувається повне відображення світла від однієї з середовищ (при переході з більш щільною середовища в менш щільну під великим кутом). При цьому, як Ви помітили, у нас ставлення синуса кута заломлення до швидкості світла в кожному середовищі завжди залишається одне і теж, тобто це константа. Ось це співвідношення і застосував Бернуллі для вирішення свого завдання.

На Рис.2 представлений оригінал його малюнка до цього завдання, де треба знайти вид кривої AMK по якій повинн рухатися промінь світла, щоб за мінімальний час пройти від точки A до точки K в шаруватої середовищі. При цьому шари середовища распологаются паралельно лінії AG, тобто осі абсцис, і щільність середовища убуває зверху вниз уздовж осі ординат AD згідно довільним законом зміни швидкості руху променя зі зменшенням висоти (крива AHE), тобто збільшенням ординати і при ординате AC швидкість дорівнює HC. Виділяючи елемент кривої ds (на малюнку відрізок Mn), Бернуллі виходячи з того, що ставлення синуса кута заломлення до швидкості руху променя має бути на всьому шляху постійно, тобто равно какой то величиною 1 / a, записав (dx / ds) / V = 1 / a, що можна переписати як a * dx = V * ds

Тепер якщо ми ліву і праву частини зведемо в квадрат і замінимо ds ^ 2 на dx ^ 2 + dy ^ 2, то ми отримаємо загальне диференціальне рівняння

Це і є рівняння руху променя світла, щоб він за мінімальний час при заданому законі зміни швидкості або коефіцієнта заломлення в вертикальних шарах при початковій швидкості, яка взагалі то повинна бути відмінна від нуля на відміну від закону зміни заданого Бернуллі, досяг точки K вилетівши з A . А якщо закон зміни швидкості світла буде такою, що ми отримаємо циклоиду, то, якщо ще і в точці K промінь світла відбитися, то він зможе пройти і другу половину дуги циклоїди, але про це згодом, а зараз давайте проведемо аналогію з рухом матеріальної точки в такий же середовищі. При цьому точка може ковзати по направляючої довільної форми без тертя і механічне опір середовища (в сенсі відсутності опору повітря), а зі збільшенням ординати (в координатах малюнка) швидкість падаючих тіл буде увелічіваеться і ми це можемо інтерпретувати як зменшення щільності в шарах нашої гіпотетичної середовища . Взявши, отриманий Галілеєм закон зміни швидкості падаючих тел в полі тяжіння Землі, Бернуллі підставив в свою формулу отримане із закону Галілея значення швидкості V = sqr (a * Y) і остаточно отримав рівняння циклоїди

Тобто виходить, що у нас механічна задача вирішена за допомогою законів оптики і, отже, закони механіки і оптики в своїй основі схожі і мають якісь загальні закономірності. А рішення цього завдання після завдання Ферма з використанням критерію оптимізації зміцнило віру багатьох вчених того часу в те, що всі закони Природи діють так, щоб всі процеси відбувалися з досягненням якоїсь мети. І якщо Ви ще не уявили собі значення цих двох завдань для вчених того часу, то порівняйте, що в наш час це приблизно рівноцінно відкриттю ядерних реакцій або гена людини. Адже вчені того часу бачили в цих рішеннях філософський камінь для відкриття всіх законів Природи, які обов'язково повинні були діяти так, щоб досягти якоїсь мети і треба було тільки знайти критерії за якими Природа визначає досягнення своєї мети, тобто як писав Планк в наведеній вище цитаті "треба з точністю сформулювати міру для кількості добра".

Треба сказати, що в той час, коли математика ставала на ноги, варіаційні принципи в механіці розвивалися дуже бурхливо і тому не винайти чого ні будь новенького в математичному плані тоді не міг тільки ледачий. Правда всі ці варіаційні принципи є найближчими родичами основного рівняння динаміки, тобто диференціального варіаційного принципу Даламбера-Лагранжа і отримані в основному для консервативних систем коли повна енергія в початковій і кінцевій точках руху системи рівні, тобто в них обов'язково як міра механічної форми руху матерії використовується енергія і при цьому обов'язково повинен дотримуватися закон її збереження. Але тепер на варіаційні інтегральні принципи стали покладати дуже великі надії і бачили в них не просто черговий закон Природи, а закон над законами, тобто інструмент який дозволить отримати всі інші закони. Але із застосуванням принципу найменшої дії виникла одна дуже велика проблема, а саме труднощі в "математичної формулюванні заходи для кількості добра". Найбільш відомі формулювання Мопертюи-Лагранжа і Гамільтона-Якобі. У першому випадку критерій оптимізації обчислюється як інтеграл по шляху від твору маси на швидкість, тобто кількості руху, а в другому як інтеграл за часом від лагранжіан, тобто різниці кінетичної і потенційної енергій системи. Як в одному, так і в іншому випадку розмірність критерію виходить джоуль помножити на секунду, але фізичний сенс як ми бачимо тут абсолютно різний. І ось якраз фізичний зміст всіх цих вигадувались критеріїв оптимізації ніяк ні кому і не вдавалося зрозуміти.

Для Лагранжа, наприклад, фізичний зміст принципу найменшої дії полягав саме в конкретизації закону живих сил (читай закону збереження енергії) і він навіть писав: "його можна було б з більшою підставою назвати принципом найбільшою чи найменшою живої сили" [6], а Лаплас про механічне змісті цього принципу говорив так: "інтеграл живої сили системи, помножений на елемент часу, є мінімум, так що, отже, справжня економія природи є економія живої сили" [6]. Але, як мені здається, ближче всіх до суті цього принципу підійшов Еддінгтон, який дуже дотепно зауважив, що принцип найменшої дії можна порівняти з твердженням "якби закони арифметики перестали бути вірними, то 2 + 2 було б більше або дорівнює (але, напевно, не менше) чотирьом "[6]. Забігаючи вперед, скажу, що, як буде показано далі, можливі випадки, коли буде і менше чотирьох. Інакше кажучи якби закони механіки перестали бути вірними, то в якомусь наближенні для деяких випадків можна було б скористатися принципом найменшої дії.

Але перш ніж перейти до експериментальної перевірки принципу найменшої дії на предмет "математичного формулювання заходи для кількості добра", давайте більш детально подивимося наскільки з фізичної точки зору вірні отримані нами рішення задач Ферма і Бернуллі. І для початку просто подивимося як буде рухатися промінь світла в шаруватої середовищі, для якої ми і вирішували наші завдання. На рис. 3 і 4 у нас зображено графічне вікно програми Hrono1, яку можна завантажити з моєї домашньої сторінки http://ser.tk.ru/, де ми бачимо 20 горизонтальних прозорих шарів розташованих через 1 метр з різними коефіцієнтами заломлення, чисельні значення яких у вигляді гістограми дані зліва. Змодельований промінь світла при проведенні обчислювального експерименту вилітає з лівого верхнього кута і рухається по 20-у (верхнього шару) до точки на початку 19-го шару, абсциссу якої ми задаємо, а далі вже відповідно до закону заломлення світла. На рис. 3 у нас щільність середовища збільшується, а на рис. 4 зменшується від верхніх шарів до нижніх по квадратичної залежності. Аналогічна картина буде спостерігатися і при лінійної залежності на рис. 5 і 6.

Чесно кажучи, мені ці криві трохи нагадують циклоїди, але перші дві криві на рис. 3 дуже схожі на циклоїди (початкова ділянка інших сильно спотворений через великої товщини першого шару). І якщо прийняти, що це циклоїди, то, при радіусі утворює кола 3 ... 4 метри, виходить що циклоїда повинна досягти точки K на рис. 2 на 9 ... 12 шарі, тобто через відстань AG = pi * R, а далі промінь світла повинен почати відхилятися вліво, але в експерименті ми цього не спостерігаємо. Більш того, щоб промінь світла став рухатися строго вертикально, необхідно щоб швидкість світла була близька до нуля, тому що тільки тоді у нас буде дотримуватися співвідношення sin (alfa1) / V1 = sin (alfa2) / V2 і, отже, в це співвідношення треба внести якісь поправки. Але найцікавіше це те, що, як видно з рис. 5, виявляється, промінь світла в одну і ту ж точку простору (там, де перетнуться промені, що вилетіли з однієї точки) може прийти різними шляхами, якщо він рухається з більш щільних шарів в менш щільні, тому що в якийсь момент він змушений буде відбитися від одного з шарів і змінити градієнт своєї швидкості, тобто напрямок руху поперек шарів (уздовж шарів градієнт змінитися не може). А відображення це станеться в той момент, коли при великому куті падіння вийде, що синус кута заломлення виявиться більше одиниці. Природно цього не може бути і світло просто повністю відбитися від цього шару, як від дзеркала, змінивши градієнт своєї швидкості. Таким чином, можливо, що світ не завжди витрачає мінімум часу, щоб з однієї точки простору потрапити в іншу і означає принцип найкоротшого часу Ферма буде справедливий не завжди, а тільки тоді коли ми розглядаємо невеликі ділянки руху, де градієнт швидкості не змінює свого напрямку.

Приймемо для простоти розрахунків, що швидкість світла у вакуумі буде 1 м / с, а, тому що вона оберненопропорційна коефіцієнту заломлення шару, то, наприклад, в шарі, де коефіцієнт заломлення дорівнюватиме 2, швидкість світла буде 0,5 м / с. У цьому випадку, час руху по дальньому шляху (синя лінія в середній частині рис. 5) до точки перетину з сусіднім червоним променем буде 72,67 сек., Що більше ніж коротшим шляхом (червоний промінь) 71,9 сек., що цілком природно і не викликає питань. Але якщо ми розглянемо аналогічний випадок, показаний на рис.6, то з'ясується, що час руху променя по дальньому шляху (синя лінія у верхній частині малюнка) буде 29,82 сек., Що менше, ніж час руху по ближньому шляху (червона лінія ) 30,41 сек., тобто ми отримали результат протилежний попередньому досвіду. А якщо ми подивимося ще й на дві нижні траєкторії руху світла, то зрозуміємо, що його траєкторія руху при різних умовах може бути дуже складною. Таким чином, світло не тільки може різними шляхами потрапити з однієї точки простору в іншу, але навіть не можна сказати при русі по якому з безлічі можливих шляхів більш короткому або більш довгому він досягне цієї точки за мінімальний час і, отже, принцип найкоротшого часу є тільки окремим випадком загального закону руху світла, який має місце на обмеженому просторі в тому випадку якщо світло не змінює градієнт своєї швидкості.

Може бути це відноситься і до механічного руху і весь принцип найменшої дії з його критеріями оптимізації не має ніякого відношення до науки, а є чистої метафізикою. Скористаємося знову програмою Hrono1 і змоделюємо рух вантажу масою 1 кг в поле тяжіння Землі по різних траєкторіях (1-пряма лінія, 2-циклоїда, 3-парабола і 4-дуга окружності) і при цьому тертям ковзання вантажу по цим напрямних нехтуємо (більш докладно про те як це відбувається можна прочитати в описі програми). Причому траєкторії руху можуть бути, як починаються з нульової точки, коли в початковий момент вони паралельні осі ординат (будемо їх називати нульові), так і починаються з довільного моменту, коли рух починається не строго вертикально (будемо їх називати довільними). На рис. 7 показані можливі траєкторії руху вантажу з початкової точки з координатами Xn = -9м і Yn = 9м в кінцеву точку з координатами Xk = 9м і Yk = -2,455м (початок координат знаходиться в центрі малюнка). Ордината кінцевої точки обрана таким чином, щоб кут повороту круга, що утворює при коченні без ковзання по лінії паралельної осі абсцис циклоиду, дорівнював 3,14 радіана, тобто щоб у нас вийшла рівно половина циклоїди (синя лінія).

Якщо кут fiK буде менше 3,14, то ми отримаємо довільну циклоиду з заданим fiK, тобто тільки частина першої половини циклоїди. Точно і ми можемо отримати нульову дугу окружності і довільну, задавши абсциссу центру кола X40 (червоні лінії). При завданні напрямних у вигляді параболи (жовто-зелені лінії) ми для нульової параболи задаємо закон її зміни X3 = X30 + K3 * (Y30 - Y3) ^ 2, де X30 = Xn і Y30 = Yn, а коефіцієнт K3 обчислюється, а для довільної параболи задаємо X30 в законі обчислення її ординат Y3 = Y30 + K3 * (X30 - X3) ^ 2, а інші параметри обчислюються. Але перш ніж почати проведення обчислювальних експериментів перевіримо наскільки грамотно ми склали математичну модель на якій будемо проводити обчислювальні експерименти і наскільки вдало ми задали параметри для чисельного рішення, наприклад, крок рішення або жорсткість направляючої. Для цього порівняємо кілька показників отриманих аналітично з цими ж показниками отриманими за допомогою обчислювального експерименту при кроці рішення 0,005 сек. Порівняємо, наприклад, довжину шляху по прямій і по дузі окружності 21,34 і 25,39 метра теорія і відповідно 21,37 і 25,45 експеримент або час руху по прямій 2,848 сек. теорія і 2,850 експеримент або сумарну енергію тіла в початковій і кінцевих точках руху при проведенні експерименту E01 = 88,154 і E1 = 88,154, E02 = 88,19 і E2 = 88,13, E03 = 88,188 і E3 = 88,183, E04 = 88,19 і E4 = 88,19 Дж. Отримані дані дозволяють зробити висновок про те, що математична модель адекватно описує поведінку нашої системи, а задані нами параметри системи забезпечують необхідну нам точність.

Як і слід було очікувати за експериментальними даними (при кроці рішення 0,002 сек) час руху за нульовою циклоїді t2 (0) = 2,406 сек. виявилося мінімальним (тут і далі індекс 2 знову відноситься до циклоїді, 1 до прямої лінії, 3 до параболи і 4 до дузі кола, а в дужках вказується нульова це траєкторія або довільна). Для порівняння наводжу результати по інших траєкторіях t1 = 2,850 сек, t2 (fiK = 2,416) = 2,598 сек, t3 (0) = 2,428 сек, t3 (X30 = 3) = 2,602 сек, t4 (0) = 2,468 сек, t4 ( X40 = 12) = 2,470 сек. Правда цей результат справедливий лише для консервативних систем, тобто систем де відсутня диссипация енергії, коли при русі вантажу на нього не буде діяти опір середовища. Але в програмі передбачена можливість проведення і експерименту з диссипацией, але тільки при лінійної залежності сили опору від швидкості руху. Наприклад, при коефіцієнті опору Kj = 1 час руху по вище перерахованих траєкторіях буде наступне t1 = 5,052 сек, t2 (0) = 5,808 сек, t2 (fiK = 2,416) = 4,774 сек, t3 (0) = 4,990 сек, t3 (X30 = 3) = 4,908 сек, а руху t4 (0) і t4 (X40 = 12) взагалі зійшли з дистанції, тому що не змогли подолати яму потенційної енергії. Тут в більш виграшному положенні при інших рівних умовах виявляються траєкторії, де коефіцієнт варіації швидкості при русі мінімальний, наприклад, пряма, яка хоча і показала в цьому забігу четвертий результат, але при збільшенні Kj обов'язково займе перше місце. Тепер давайте перевіримо, а чи немає якихось кривих для ідеальних систем, які дуже близько збігаються з циклоїдою і у них час руху виявиться менше. Як показують результати експериментів з різними параболами і дугами окружності на рис. 8, як в тих випадках, коли криві знаходяться вище циклоїди t3 (X30 = 9) = 2,506 сек і t4 (X40 = 9) = 2,432 сек, так і в тих випадках, коли криві проходять нижче циклоїди t3 (X3 0 = 6) = 2,474 сек і t4 (X40 = 6) = 2,418 сек, час руху по циклоїди завжди менше.

А тепер подивимося, чи не зміниться результат, якщо ми кінцеву точку змістимо вище або нижче. Як показують результати експериментів на рис. 9, і в цьому випадку час руху по циклоїди залишається мінімальним, як при зсуві точки вгору (t2 (0) = 2,578 сек, t3 (0) = 2,928 сек і t4 (X40 = 2) = 2,608 сек), так і при зсуві вниз (t2 (0) = 2,486 сек, t3 (0) = 2,490 сек і t4 (X40 = 15) = 2,494 сек). Таким чином висловлювання Еддінгтона про принцип найменшої дії, стосовно до руху вантажу в полі тяжіння Землі з однієї точки в іншу, можна інтерпретувати так, що час руху при цьому буде швидше за все або дорівнює або більше часу руху по циклоїди. А ось якщо ми в початковий момент часу задамо нашого вантажу якусь початкову швидкість, то тут буде не все так однозначно. Давайте візьмемо кілька траєкторій, які в початковий момент розходяться під невеликими кутами один до одного, і задамо початкову швидкість, напрямок якої співпаде з початковою ділянкою однієї з них. Для траєкторій зображених на рис. 10 найгірший результат при початковій швидкості рівною нулю, як видно з таблиці 1, має пряму лінію. Давайте задамо різні значення початкової швидкості, напрямок якої співпаде з траєкторією прямій лінії, і отримані результати занесемо в ту ж таблицю. Як ми бачимо при невеликій швидкості кращі результати у параболи і дуги за рахунок більш оптимальної траєкторії, але вже при середній швидкості кращий результат у циклоїди у якій траєкторія середньої оптимальності, але кут відхилення від прямої менше ніж у параболи і дуги, але при великій швидкості краще час показує пряма, хоча у неї сама неоптимальна траєкторія з чотирьох, але тут вже головну роль грає початкова швидкість. Таким чином час руху вантажу за нульовою циклоїді буде завжди мінімальним в поле тяжіння Землі тільки в одному окремому випадку, коли початкова швидкість дорівнює нулю або її напрямок збігається з початковою ділянкою циклоїди. Більш заплутаною стає ситуація якщо при русі вантажу на нього при наявності початкової швидкості діятиме опір середовища, тобто у нас буде не консервативна система, але в цьому випадку автори цього принципу і не претендують на його придатність.

Щоб закінчити з завданням Бернуллі, нам залишилося розглянути лише випадки, коли напруженість силового поля, в якому рухається вантаж, відрізняється від локального поля тяжіння Землі, тобто коли воно, наприклад, в значних інтервалах змінюється в залежності від відстані між тілами, як в законах Ньютона або Кулона. І хоча ми саме в одному з таких полів і проводили наші обчислювальні експерименти, але різниця як ординат так і абсцис в початковій і кінцевій точках руху вантажу була непорівнянна з відстанню від вантажу до центру Землі і тому ми практично розглядали рух вантажу в плоскому постійному полі, де його напруженість не змінюється, як при зміні ординати, так і при зміні абсциси, тобто в будь-якій точці на вантаж діяла майже постійна сила m * g і при цьому її вектор завжди був спрямований майже вертикально вниз. Щоб вантаж рухався дійсно в сферичному полі, нам треба щоб відстань між початковим і кінцевим пунктом руху було порівнянно з відстанню до джерела створює це поле. Тут можливі два варіанти. Або ми беремо відстані між точками співмірні з відстанню до Землі, або ми залишаємо точки на своїх місцях, а гравітаційне поле замінюємо електростатичним, яке може дати співмірні зусилля і при наших масштабах.

Розглянемо рух вантажу в електростатичному полі, коли наш вантаж і інше взаємодіє з ним тіло такої ж маси тільки жорстко прикріплене до осі ординат системи відліку зарядимо різнойменними зарядами q1 = q2 = 0,0005 кулона, і розмістимо друге тіло на осі ординат (і як це у нас було і з Землею), але на відстані 10 м від осі абсцис, що дозволить отримати час руху порівнянна з розглянутими нами вище випадками. При цьому вплив гравітаційного поля Землі виключаємо, задавши масу другого тіла дорівнює 1 кг або взагалі нулю. Отже, розглянемо два варіанти руху вантажу, як в звичайному сферичному поле точкового заряду (будемо позначати)) var2-, де 2 означає, що напруженість поля з ростом відстані зменшується в другому ступені) рис. 12, що є найбільш частим випадком, так і в плоскому змінному полі з лінійною зворотною залежністю від відстані (будемо позначати // var1-) рис. 11, коли, наприклад, другий заряд (маса) рівномірно розподілений по горизонтальній лінії, тобто сила взаємодії між тілами змінюється зі зміною ординати, а напрямок дії сили залишається постійним (строго вниз). Взагалі то поле в другому випадку буде строго // var1- в тому випадку якщо довжина цієї лінії буде дорівнює нескінченності, але вже при довжині цієї лінії як вправо так і вліво від осі ординат на 10 розмірів екрану і при її ординате -0,25 розміру екрану помилка, коли маса (заряд) 1 знаходиться у верхній точці екрану складе 0,28%.

При проведенні цих експериментів жорсткість вантажу збільшимо в 10 разів, тому що зусилля в нижній точці параболи на порядок більше ніж у верхній, як через збільшення сили тяжіння між тілами, так і через велику відцентрової сили, що може на кілька сантиметрів спотворити траєкторію руху при пружною деформації вантажу. Для наочності на рис. 11 і 12 прямі коричневі лінії показавают траєкторії вільного руху вантажу, тобто не поєднаних з направляючої, а в лівому верхньому кутку маленька синя лінія відображає закон зміни напруженості поля і якщо поле плоске, то нульовий рівень потенційної енергії буде показаний прямою лінією збігається з віссю абсцис, а якщо сферичне окружністю радіуса Rz навколо 2-го вантажу. Згідно з експериментальними даними при русі в поле // var1- (t2 (0) = 1,998 сек, t3 (X30 = 5) = 2,036 сек, t4 (X40 = 5) = 1,984 сек) циклоїда вже не є брахістохрони, а при русі в поле)) var2- (t2 (0) = 2,684 сек, t3 (X30 = 5) = 2,634 сек, t4 (X40 = 8) = 2,638 сек) виходить, що час руху по циклоїди взагалі найбільше, тобто вона в загальному випадку не є брахістохрони, що цілком природно, тому що рівняння циклоїди отримано Бернуллі із загального рішення для дуже окремого випадку, тобто плоского поля з постійною напруженістю // const і для інших полів навіть висловлювання Еддінгтона вже стає невірним стосовно принципу найкоротшого часу.

А якщо ми розглянемо і рух вантажу в інших полях (програма Hrono1 дозволяє змоделювати 10 різних видів тільки монополів), то ми просто зайвий раз переконаємося, що висновки зроблені з результатів руху в одному полі можуть повністю суперечити висновкам зробленим для руху в іншому полі. Наприклад, рух по еліпсу здійснюється не тільки в поле)) var2-, але і в поле)) var1 +, але сам характер рухів при цьому різко відрізняється (порівняйте траєкторії на рис. 13 і рис. 14). А як би комбіноване рух по гірерболо-еліпсу з утворенням красивих розеточек можливо як при русі в поле)) var2 +, так і в поле)) var1-, але характер цих рухів знову таки відрізняється (див. Ті ж малюнки). До речі схожі розеточкі виходять і в поле)) const. А якщо у нас закон зміни полів тільки трохи відрізняється від строго лінійної або квадратичної залежності, то варіантів руху може бути безліч, а можливо таке при нерівномірному розподілі маси або заряду за обсягом одного з тіл і розмірах цього тіла порівнянних з відстанню між тілами. І при цьому, наприклад, деякий проворачивание еліпса утвореного при русі Меркурія навколо Сонця з утворенням розеточек схожих на отримані нами можна дуже просто пояснити виходячи з цих міркувань, а не приплітати сюди так звану "теорію відносності" Енштейна, та ще при цьому і вважати таке рух Меркурія доказом цієї самої "гіпотези відносності" Енштейна.

Таким чином ми бачимо, що ніяких об'єктивних передумов для винаходу принципу найменшої дії в XVIII столітті не було, тому що і для світла і для механічного руху ніякого універсального закону руху з однієї точки простору в іншу за мінімальний час не існує. Але, як бачимо, бажання отримати такий закон законів було настільки велике, що зауважень, висловлених мною зараз з приводу принципу найкоротшого часу, або намагалися не помічати або просто не могли провести настільки точні експерименти. Не можна звичайно ж не враховувати і особистої зацікавленості деяких вчених, наприклад, крім згадуваного вище Лагранжа, Мопертюи доклав просто титанічні зусилля щодо увічнення свого імені в цьому принципі аж до залучення в цю боротьбу наукових ідей царюючих осіб, що до речі довело його навіть до божевілля. Але тут же слід зауважити, що питання це дійсно дуже заплутаний і вимагав проведення дуже складних експериментів які будуть недоступні в той час. Адже ми з вами провели НЕ натурні, а обчислювальні експерименти на математичних моделях, що стало можливо тільки при вирішенні диференціальних рівнянь чисельними методами на комп'ютерах. Ті ж самі математичні моделі допоможуть нам розібратися і з принципом найменшої дії і для цього ми скористаємося тією ж програмою Hrono1.

На жаль єдиним практичним прикладом застосування принципу найменшої дії, не рахуючи деяких завдань Ейлера, які все ж є більше теоретичними, який мені вдалося виявити в літературних джерелах є приклад Слудський [7], який можна знайти і в сучасних підручниках, наприклад, [4] , тому з нього і почнемо з'ясування правил за якими треба грати, щоб застосувати на практиці цей принцип. У цьому прикладі автор розглядає вільне, тобто кинутого під кутом до горизонту, а не вільне, тобто паралельно горизонту, рух тіла в полі тяжіння Землі (в сучасних підручниках такі рухи називаються прямим і обхідним шляхами). При цьому, як пише Слудский, всяке невільний рух можна розглядати як вільне відбувається під дією якихось сил і опорів, але пояснення до цього питання у нього дані дуже туманно.

При розгляді цього прикладу Слудский, втім як і автори всіх підручників при розгляді подібних завдань, приймає, що в полі тяжіння Землі у нас буде поле // const і отже тіло, кинуте під кутом до горизонту буде летіти по параболі, що є принциповою помилкою, тому поле у нас буде)) var2- і тіло буде летіти по еліпсу. Якби ми розглядали політ електрона в трубці кінескопа, де він пролітаючи між обкладинками плоского конденсатора рухається саме в такому полі, або розглядали б практичну задачу з польотом цегли на будмайданчику, то у мене б не було ніяких зауважень. Але ми вирішуємо чисто теоретичну задачу і тут наближені формули не припустимі. Та якби ми навіть вирішували практичну задачу, наприклад, польоту снаряда то і в цьому випадку застосування формул для поля // const до полю)) var2- не дозволив би нам при першому пострілі, навіть при обліку опору повітря, географічної широти і швидкості вітру , не тільки не потрапити в бліндаж противника, але ми б не потрапили навіть у площа аеродрому. Тому не випадково першою в світі практичним завданням вирішеною на ЕОМ була саме завдання польоту снаряда для складання таблиць стрільби.

Але, щоб все ж з'ясувати правила гри в принцип найменшої дії, давайте почнемо їх розгляд саме в цьому полі, яке і використовували творці цього принципу, тим більше що Слудский дає нам ще й відмінність в правилах гри за критерієм Лагранжа, коли енергії в двох рухах рівні, і за критерієм Остроградського, коли енергії можуть бути різними через різних початкових швидкостей. А взагалі то цих назв для різних критеріїв в кілька разів більше ніж самих критеріїв і тому, щоб не заплутатися в них будемо не називати той чи інший критерій за прізвищами застосовували його авторів, а просто давати його математичний вираз, тим більше, що майже всі вони зводяться до інтеграла за часом від комбінації кінетичної енергії T і потенційної U. І хоча останнім часом дуже рідко використовується критерій інтеграла по шляху руху від твору маси тіла на його швидкість (mV), але саме він використовувався при зародженні цього принципу і тому як довідкові значення я буду приводити отримані при обчислювальних експериментах значення і цього критерію. після Лагранж шляхом заміни елемента шляху виразом V * dt перетворив цей критерій в інтеграл за часом від живої сили, тобто величини яка в два рази більше кінетичної енергії. Хоча мені особисто вся ця метушня з критеріями і правилами гри в принцип найменшої дії рівнозначна вирішення завдання, коли потрібно визначити в якому разі цегла кинутий з будмайданчика швидше долетить - до паркану або до обіду. Якщо Ви скажете до паркану, вам дадуть відповідь неправильно бо до паркану він буде летіти 5 сек, а до обіду залишилося 2 сек. А якщо Ви скажіть, що до обіду, то Вам знову скажуть, що неправильно бо тепер у нас до обіду буде пів години.

Таким чином Слудский розглядає два завдання, коли в одному випадку розглядаються два руху починаються з однаковими швидкостями і тіло приходить в кінцеву точку за різний час (застосовується критерій T) і коли в іншому випадку розглядаються два руху починаються з різними швидкостями і тіло приходить в кінцеву точку за одне і те ж час (застосовується критерій T - U). При цьому, як я вже згадував, він дуже туманно пояснює як це конкретно досягається, по тому що його рекомендації щодо зменшення напруженості поля і збільшення початкової швидкості, щоб рух тіла кинутого під кутом дуже мало при малих кутах нахилу до горизонту відрізнялося від горизонтального, прямолінійного і рівномірного завдання перетину їх на осі абсцис, тобто в кінцевій точці руху абсолютно не вирішує. Тим більше, що він тут же призводить для першого завдання рівняння описують перший рух тіла (кинутого під кутом) як рух по параболі і другого тіла як горизонтальне, прямолінійний і рівномірний, траєкторії яких, природно, по цих рівнянь перетинаються в точці з координатами

Ті ж самі туманні пояснення даються і в сучасному підручнику, тому спробуємо з'ясувати самі, що конкретно автори цього принципу приймають за прямою і обхідні шляхи для вирішення практичних завдань. Адже, як видно з рис. 15, якщо обидва рухи будуть відбуватися при одних і тих же умовах, то, як би ми не зменшували напруженість поля і кут нахилу початкової швидкості до горизонту, а й не збільшували швидкості, ці дві траєкторії в поле // const взагалі ніколи не перетнуться. Отже, автори просто розглядають в одному випадку вільний рух тіла, а в іншому або не вільне програмне забезпечення, коли на нього накладено утримують зв'язку, або вільне, але при впливі на нього ще якихось додаткових зовнішніх сил. Наприклад, якщо ми до сили тяжіння - m * g додамо постійно діючу на тіло силу m * g, то отримаємо, що сумарна сила дорівнює нулю і тіло рухається і вільно як і в першому випадку, але на нього не діє сила тяжіння. А якщо ми обмежимо вільний рух рівнянням прямої, то рух тіла, хоча і буде не вільним, але знову таки буде рівномірним, прямолінійним і горизонтальним, тобто як раз і буде описуватися наведеними вище рівняннями. Таким чином ми розглядаємо два руху в абсолютно різних умовах.

Не буду приводити математичних перетворень, які дозволили Слудський отримати два вирази для інтеграла по T для першого випадку, що відрізняються тільки другими співмножники, з яких видно, що при малих кутах, коли sin (alfa) = alfa, перший інтеграл однозначно буде завжди менше другого. Давайте це перевіримо експериментально, а заодно ще раз протестуємо нашу програму. Змоделюємо два руху для першого випадку в поле тяжіння еквівалентному електростатичного з напруженістю g = 0,9 м / с ^ 2 зі швидкостями 1-е VX = 9 м / с, VY = 3 м / с і 2-е VX = 9,487 м / с, VY = 0 м / с. При аналітичному вирішенні ми отримуємо для першого інтеграла значення 280,02 Дж * с, а для другого інтеграла 284,62 Дж * с, що дуже близько до значень отриманим при моделюванні, відповідно, 280,15 і 284,86 і зайвий раз доводить адекватність створеної моделі.

При розгляді другого випадку, щоб тіло різними траєкторіями прийшло в кінцеву точку за одне і теж час нам треба для другого руху, яке буде відбуватися по прямій, задати швидкості VX = 9 м / с, VY = 0 м / с. Обчислюємо аналітично за отриманими Слудський интегралам від виразу T + U значення отриманих критеріїв, які в аналітичній записи знову таки відрізняються тільки другими співмножники і при малих кутах перший інтеграл знову буде однозначно завжди менше другого. Для першого руху це буде 260,01 Дж * с, а для другого 270,02 Дж * с. Ось тільки значення отримані на моделі дають дещо інший результат 300,15 і 270,13 відповідно. Починаємо розбиратися і з'ясовуємо, що Слудский виявляється обчислив інтеграли від виразу T- U, тому що інтеграл від T + U буде зовсім інший, хоча і у нього і в підручниках в багатьох місцях записано саме T + U. Ця плутанина зайвий раз підтверджує нагальну потребу все ж розібратися з питанням потенційної енергії, що я і постараюся зробити в одній з наступних частин, тому що подивившись значення отримані при моделюванні для критерію T- U, які вийшли відповідно 260,15 і 270,15, ми переконуємося, що так воно і є.

Підіб'ємо деякі підсумки за правилами гри в принцип найменшої дії. Якщо ми порівнюємо два руху одне з яких при інших рівних умовах вільне, а інше немає (або є рівняння зв'язків, або є додаткові зовнішні сили), то

• якщо ми розглядаємо два руху, у яких однакові по модулю початкові швидкості і в кінцеву точку вони приходять за різний час, то у вільного руху інтеграл за часом від виразу для T буде завжди менше, ніж у не вільного руху.
• якщо ми розглядаємо два руху, у яких початкові швидкості по модулю різні, але в кінцеву точку вони приходять за одне і теж час, то у вільного руху інтеграл за часом від виразу для T- U буде завжди менше, ніж у не вільного руху.

Правда залишилося одне питання, а за яким критерієм відрізняти вільний, тобто справжнє рух від не вільна (чи не істинного), якщо і модулі швидкостей на початку шляху однакові і час руху до кінцевої точки одне і теж або якщо ці умови дотримуються для двох або більше вільних рухів. Автори цього принципу вважають, що таке не можливо і тому правил гри в цей принцип для цих випадків не придумали, але як буде показано далі дуже навіть можливо.

В даному прикладі ми порівнювали вільний рух з невільним, яке проводилося по прямій, але може бути є якісь інші траєкторії, де цей принцип не буде дотримуватися. Як показали дослідження при будь-яких траєкторіях прийнятих за невільне рух принцип найменшої дії дійсно виконується при русі в поле // const, але на цьому полі, крім того, що все таки є одним з багатьох можливих, є і досить екзотичним, і з цього звичайно ж треба перевірити цей принцип в якому-небудь іншому полі, наприклад,)) var2-, яке є в Природі самим поширеному (напевно 99% випадків), тим більше що саме в цьому полі і рухаються тіла в полі тяжіння Землі.

рис.17
Осцілограмма критеріїв оптимізації T і TU з таблиці 2 для 2-ї групи експериментів
з розгорткою по часу при Mt = 0,5 с / см, M = 250 Дж * с / см.

На рис. 16 показано як раз рух саме в такому полі, а в таблиці 2 наведені результати цих експериментів і на рис. 17 дана осциллограмма зміни критеріїв в часі для 2-ої групи експериментів. Як і слід було очікувати, з огляду на результати за принципом найкоротшого часу, якщо ми будемо грати в принцип найменшої дії за правилами, коли він вигравав у поле // const, то в поле)) var2- принцип програє 3 партії з 4, якщо у 2- ой групі експериментів за невільне рух прийняти рух по прямій. Тому, щоб вигравати в цьому полі, авторам принципу найменшої дії треба придумувати якісь нові правила гри в цьому полі. Тим більше, що програма Hrono1 надає їм таку можливість, тому що дозволяє обчислювати не тільки інтегральні значення від виразів mV, T, T + U і TU, але і середні. Причому як інтегральні, так і середні значення можуть бути обчислені як за часом руху, так і по шляху руху. А поки вони їх не придумали досить і однієї програної партії для того, щоб цей принцип перестав бути принципом.

Але мабуть головний висновок, який можна зробити з руху в цьому полі це те, що принцип найменшої дії не відображає тут взагалі ніякі об'єктивні закони Природи, тому що при невільному русі ці критерії можуть бути не тільки менше, ніж при вільному, але і більше (дивіться рух по дузі і параболі), тобто вони можуть бути взагалі будь-які. Отже, всі ці критерії є суб'єктивними і будь-який автор нового принципу найменшої дії для розглянутого їм дуже окремого випадку руху напевно зможе підібрати такий хитромудрий критерій, коли цей принцип буде дотримуватися. Ось тільки кому такий особистий (домашній) принцип потрібен. І ці висновки ми зробили при врахуванні того, що перевірили цей принцип тільки в одному полі і то в монополії, тобто поле створюваному однієї масою або зарядом, але в Природі майже завжди спостерігаються мультиполя. Наприклад, розглядаючи рух космічних апаратів в поле тяжіння Землі не можна не враховувати і поля тяжіння Місяця або Сонця, а, при розгляді руху електрона в полі ядра, не можна не враховувати поля створювані іншими електронами і т.д. Звичайно ж дане питання за принципом найменшої дії можна вважати вирішеним і навіть не розглядати рух в мультиполя, але може бути кому то це буде корисно і тому я розгляну і кілька рухів в мультиполя.

Програма Hrono1 дозволяє змоделювати лише один вид мультиполя, але зате найпоширеніший)) var2- і при цьому третя маса з таким же значенням маси і заряду як у другий розташовується на осі абсцис на відстані від початку координат KRz3 * Rz, де KRz3 задається і як і Rz. В даному випадку ця маса і як і друга з'єднана нерухомо з інерційної системою відліку і тепер потенційна енергія маси 1 буде дорівнює сумі потенційних енергій в поле мас 2 і 3, а нульовий рівень потенційної енергії буде в точці на середині відрізка з'єднує центри цих мас. У такому мультиполя ми вже можемо отримати практично необмежену кількість вільних траєкторій, які починаються і закінчуються в одних і тих же точках простору і на рис. 18 показані кілька таких траєкторій. Тому давайте не будемо підбирати траєкторію невільного руху, щоб при цьому порушився принцип найменшої дії, тому що це занадто легко, а давайте просто поставимо якусь одну траєкторію невільного руху і перевіримо чи виграє принцип найменшої дії у неї при різних траєкторіях вільного руху. На рис. 18 такий траєкторією є дуга кола (червона крива), а результати експериментів представлені в табл. 3. Для більш наочного уявлення про характер зміни критеріїв в такому полі на рис. 19 дана осциллограмма їх зміни для однієї з траєкторій (жовто-зеленої) зображених на рис. 18 - це (коричневі криві) і порівнянних експериментів при русі по дузі кола (червоні криві).

Як видно з даних табл. 3, успіхи у принципу найменшої дії, навіть коли ми йому дали фору, що не важливі, тобто виграно тільки 3 партії з 10 (2 рази за критерієм T - U і 1 раз за критерієм T). Таким чином ні про яке науковому значенні цього принципу не може бути й мови, якщо він навіть за своїми ж правилами визначення суб'єктивної міри добра і зла не може у нас виграти, не кажучи вже про загальноприйняті правила визначення об'єктивних показників функціонування системи. Крім того, слід зауважити, що позбавлені будь-якого сенсу і розмови про прямому і манівцях, тому що на малюнку 18 у нас все шляху при вільному русі прямі, але згідно з принципами варіаційного обчислення прямий шлях може бути тільки один. Не ясно тільки якийсь. Напевно, в залежності від того, що б нам хотілося отримати, коли розглядаємо одну задачу, то той у якого критерій оптимізації T мінімальний, а коли розглядаємо іншу задачу то той у якого критерій оптимізації T- U мінімальний. І взагалі який в такому випадку сенс прямого, тобто дійсного шляху. А якщо ми подивимося на рис. 20, де у нас показані дві траєкторії, які перетинаються в одній точці, в один і той же час і при цьому їх початкові швидкості теж рівні, то у мене не вистачає уяви, щоб придумати правило за яким один шлях буде названий прямим, т. е. істинним, а інший обхідним, тобто неможливим хоча значення критеріїв оптимізації, крім T + U, у них і вийшли різні. Для більшої точності рішення вироблялося з кроком 0,0005 сек. , А дані за критеріями оптимізації при цих рухах наведені в табл. 4.

Можна звичайно в якості головоломки запропонувати прихильникам принципу найменшої дії, якщо такі ще залишилися, розглянути ще траєкторію вільного руху на рис. 21, де вона кілька разів перетинає кінцеву точку в різний час (причому ці точки не є навіть сполученими кинетическими фокусами, тому що траєкторія НЕ періодична), але я думаю, що це вже навряд чи кому цікаво, тому що з повною упевненістю можна констатувати, що ніякого принципу найменшої дії, так само як і самої величини "дії", в Природі не існує, тобто наукова цінність цього принципу приблизно така ж як посаду 5-го заступника молодшого помічника старшого двірника. При цьому якщо і вважати "дія" заходом чого небудь то ні в якому разі не мірою механічної форми руху матерії, а мірою добра і зла, які кожен автор розуміє по своєму чисто суб'єктивно і для різних завдань винаходить нові критерії оцінки цих величин.

На жаль розгляд перерахованих вище принципів зайняло дуже багато місця і тому про таку величину як квант дії ми поговоримо наступного разу. А після того, як ми з'ясували, що немає ніякого дії взагалі, дуже навіть цікаво з'ясувати що ж це за величина така, яка допомогла Енштейн з його другом Планком поставити на голову всю фізику. А щоб таке більше не відбувалося і фізика стояли не на голові, а на ногах, в неї треба просто повернути фізичний зміст, а всім великим математико-фізикам, тобто любителям стояти на голові, не погано було б зайняти своє місце поряд з кафедрами сучасних геометрів і не лізти в фізику де треба і не треба зі своїм варіаційним або тензорним численнями і іншими дуже розумними і напевно десь потрібними речами. Тоді ми принаймні більше не почуємо дуже хитромудрих висловлювань про те, що з релятивістської точки зору щільність, помножена на чотиривимірний обсяг простору-часу, це і є те саме діяння по Гамільтону, якого, як ми з'ясували ніколи і не було в Природі.

ЛІТЕРАТУРА

1. Амелькин А.А. Диференціальні рівняння в додатках. - М .: Наука. 1987. -160 с.

2. І. Бернуллі. Кривизна променя в неоднорідних прозорих тілах і рішення задачі, запропонованої мною в "Acta" за 1696 р, стор. 269, про знаходження "брахістохрони лінії", тобто такої лінії, по якій тіло повинно проходити від однієї заданої точки до іншої в найкоротший час; потім про побудову "синхронної кривої", тобто хвилі променів // Варіаційні принципи механіки / Под ред. Л.С. Полак, М .: Физматгиз, 1959. с. 12-17.

3. Ландау Л.Д., Ліфшиц Е.М. Теоретична фізика: Учеб. посібник в 10-ти т.Т.1. Механіка. - 5-е изд. М .: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 224 с.

4. Маркєєв А.П. Теоретична механіка - 2-е вид. - М .: ЧеРо. 1999, с. 572.

5. М. Планк. Принцип найменшої дії // Варіаційні принципи механіки / Под ред. Л.С. Полак, М .: Физматгиз, 1959. с. 580-588.

6. Полак Л. С. Варіаційні принципи механіки // Варіаційні принципи механіки / Под ред. Л.С. Полак, М .: Физматгиз, 1959. с. 780-879.

7. Слудский Ф.А. Замітка про початок найменшої дії // Варіаційні принципи механіки / Под ред. Л.С. Полак, М .: Физматгиз, 1959. с. 388-391.

8. П. Ферма. Синтез для рефракції // Варіаційні принципи механіки / Под ред. Л.С. Полак, М .: Физматгиз, 1959. с. 6-10.

9. Юдін С.Ю. Моделювання систем і оптимізація їх параметрів. - Волгоград: Електронний варіант книги (http://ser.tk.ru), 2003. - 208с.

Версія для друку
Автор: к.т.н., Юдін Сергій Юрійович
PS Матеріал захищений.
Дата публікації 13.03.2005гг

НОВІ СТАТТІ ТА ПУБЛІКАЦІЇ
	Технологія виготовлення універсальних муфт для бесварочного, безрезьбовиє, бесфлянцевого з'єднання відрізків труб в трубопроводах високого тиску (мається відео)
	Технологія очищення нафти і нафтопродуктів
	Про можливість переміщення замкнутої механічної системи за рахунок внутрішніх сил
	Світіння рідини в тонких діелектричних каналох
	Взаємозв'язок між квантової і класичної механікою
	Міліметрові хвилі в медицині. Новий погляд. ММВ терапія
	магнітний двигун
	Джерело тепла на базі нососних агрегатів