початок розділу Виробничі, аматорські радіоаматорські Авіамодельний, ракетомодельного Корисні, цікаві	хитрощі майстру електроніка фізика технології винаходи	таємниці космосу таємниці Землі таємниці Океану хитрощі Карта розділу
Використання матеріалів сайту дозволяється за умови посилання (для сайтів - гіперпосилання)

Божественною пропорцією ЗОЛОТОГО ПЕРЕРІЗУ

Ласкаво просимо на форум

Якщо ви підходите до порожньої лавці і сідайте на неї, то ви сядете не посередині лавки (як-то нескромно, хоча зустрічаються і такі, яскраво виражені характери) і, звичайно, не на самий край. Якщо ви непомітно завмер довжини, на які своїм тілом розділили лавку, то виявите, що ставлення більшого відрізка до меншого дорівнює відношенню всієї довжини до більшого відрізку і дорівнює приблизно 1,62. Це число, зване золотим перетином, входить в трійку найвідоміших ірраціональних чисел, тобто таких чисел, десяткові подання яких нескінченні і неперіодичних. Решта два ви звичайно знаєте: це p - відношення довжини кола до діаметру і е - основа натуральних логарифмів (це слово багато хто не люблять, але число, тим не менш, цікаве). І, хоча золотий перетин і не таке фундаментальне в математиці, як два один їх, воно має важливе значення для нашого сприйняття світу, так як пропорції, що відповідають золотому перетину здаються нам гармонійними.

Золотий перетин було відомо древнім грекам. Навряд чи можна сумніватися в тому, що деякі давньогрецькі архітектори і скульптори свідомо використовували його в своїх творіннях. Прикладом може слугувати хоча б Парфенон. Саме ця обставина і мав на увазі американський математик Марк Барр, коли запропонував називати відношення двох відрізків, що утворюють золотий перетин, числом j Буква (фі) - перша буква в імені великого Фідія, який, за переказами, часто використовував золотий перетин в своїх скульптурах. Однією з причин, по якій піфагорійці вибрали пентаграму, або п'ятикутну зірку, символом свого таємного ордена, є та обставина, що будь-який відрізок в цій фігурі знаходиться в золотом ставленні до найменшого сусіднього відрізку. Багато математики, які жили в середні віки і в епоху Відродження, були настільки захоплені дослідженням надзвичайних властивостей числа j, що це було схоже на легке божевілля.

Прикладом можуть служити слова Кеплера: «Геометрія володіє двома скарбами: одне з них - теорема Піфагора, інше - поділ відрізка в крайньому і середньому відношенні. Перше можна назвати мірою золота, втричі ж більше нагадує дорогоцінний камінь ». В епоху Відродження відношення, яке виражається числом j, називали «божественною пропорцією» або, слідуючи Евклиду, «середнім і крайньому ставленням».

Термін «золотий перетин» увійшов у вжиток лише в дев'ятнадцятому столітті. Багато чудових властивостей j, що проявляються в різних плоских і просторових фігурах, було зібрано в трактаті Луки Пачолі, що вийшов в 1509 році під назвою «De Divina Proportione» ( «Про божественної пропорції») з ілюстраціями Леонардо да Вінчі.

Число j висловлює, наприклад, ставлення радіуса кола до сторони правильного вписаного десятіугольніка. Розташувавши три «золотих» прямокутника (тобто прямокутники, сторони яких відносяться в «золотому» співвідношенні) так, щоб кожен симетрично перетинався з двома іншими (під прямим кутом до кожного з них), ми побачимо, що вершини «золотих» прямокутників збігаються з 12 вершинами правильного ікосаедра і в той же час вказують положення центрів 12 граней правильного додекаедра. Золотий прямокутник має багатьма незвичайними властивостями. Відрізавши від золотого прямокутника квадрат, сторона якого дорівнює меншій стороні прямокутника, ми знову отримаємо золотий прямокутник менших розмірів. Продовжуючи відрізати квадрати, ми будемо отримувати все менші і менші золоті прямокутники. Причому розташовуватися вони будуть за логарифмічною спіралі, що має важливе значення в математичних моделях природних об'єктів (наприклад, раковинах равликів). Полюс спіралі лежить на перетині діагоналей початкового прямокутника BD і першого відрізається вертикального AC. Причому, діагоналі всіх наступних зменшуються золотих прямокутників лежать на цих диагоналях.

Це трикутник, у якого відношення довжини бічної сторони до довжини підстави дорівнює 1.618. У зірчастому п'ятикутнику кожна з п'яти ліній, що складають цю фігуру, ділить іншу щодо золотого перетину, а кінці зірки є золотими трикутниками.

У всі часи математики, художники і філософи займалися питаннями, пов'язаними з золотим перетином. Однак знову "відкрито" і представлено вченим і художникам золотий перетин було в середині XIX в. У 1855 р німецький дослідник золотого перетину професор Цейзинг опублікував свою працю "Естетичні дослідження". Він абсолютизував пропорцію золотого перетину, оголосивши її універсальною для всіх явищ природи і мистецтва. У своєму об'ємистому (457 сторінок) праці Адольф Цейзинг доводить, що з усіх пропорцій саме золотий перетин дає найбільший художній ефект і приносить найбільше задоволення при сприйнятті. Він абсолютизував пропорцію золотого перетину, оголосивши її універсальною для всіх явищ природи і мистецтва. Саме в золотому перетині, по Цейзинг, криється ключ до розуміння всієї морфології (в тому числі будови людського тіла), мистецтва, архітектури і навіть музики. Інший німецький вчений фізіолог Густав Фехнер намагався практично обгрунтувати погляди Цейзинга. Для цього він виміряв відносини сторін у тисяч вікон, картинних рам, гральних карт, книг та інших прямокутних предметів, перевірив, в якому відношенні поперечні поперечини могильних хрестів на цвинтарях ділять вертикальні підстави, і виявив, що в більшості випадків отримані ним числа трохи відрізняються від j. Фехнер розробив цілий ряд дотепних тестів, в яких випробують пропонувалося вибрати «милий його серцю» прямокутник з великого набору прямокутників з різними співвідношеннями сторін, намалювати самий «приємний» багатокутник, вибрати місце поперечини і т.д. І тут багато разів проведені досліди показали, що випробовувані віддають перевагу відносинам, близьким до j.

Додаткові відомості з історії Золотого перетину можна знайти на http: //bullbear.msm/ru/rus/fr_main513.shtml Цікава стаття Теодора Ландшейдта «Космічна функція золотого перетину», опублікована в журналі Міжнародного товариства астрологічних досліджень (ISAR) «KOSMOS». У ній автор простежує зв'язок таких несумісних явищ, як коливання сонячної осі, відсоток поверхні, ураженої посухою, активність харчування термітів, інтенсивність дії знеболюючих препаратів, індекс військової активності, ймовірності народження хлопчиків - і всюди коливання розглянутих величин знаходяться в відношенні золотого перерізу. Доктор Теодор Ландшейдт є директором Інституту досліджень циклів сонячної активності в Канаді. Всесвітньо відомий експерт з питань сонячно-земних зв'язків, він був відзначений премією Каліфорнійського Інституту циклів в знак визнання видатних досягнень в цій галузі досліджень. Особливо примітно, що він не оминув і фрагменти фрактальних малюнків безлічі Мандельброта, зв'язавши побачену там логарифмічну спіраль з фрактально-хаотичними закономірностями життя Всесвіту. Ознайомитися з незвичайною статтею можна на http://astrologic.ru/library/golden.shtml

Бажають розім'ятися в філософських пошуках можуть відправитися на http://www.radiant.ru/~kbb/Page_Gold_midl.shtml за статтею «Філософське обгрунтування поняття Золота пропорція», втім, на наш погляд, не дуже глибокою.

Цікавий приклад використання золотого перетину для отримання гармонійного фотознімку наведено на сторінці, присвяченій фотомистецтва www.photoline.ru/tcomp1.shtml Він заснований на помічена психологами і мистецтвознавцями правилі - розташуванні основних компонентів кадру в особливих точках - зорових центрах. Таких точок всього чотири, і розташовані вони на відстані 3/8 і 5/8 від відповідних країв площині. Людина завжди акцентує свою увагу на цих точках, незалежно від формату кадру або картини.

Чому ж так само j? Нагадаємо визначення: велика частина відноситься до меншої як все до більшої. Якщо менший відрізок прийняти за одиницю, то можна записати пропорцію: (Х + 1) / Х = Х / 1, яка зводиться до простого квадратного рівняння Х2-Х-1 = 0, позитивний корінь якого дорівнює. Це число одночасно висловлює довжину відрізка Х і значення величини j. Його десяткове розкладання має вигляд 1,61803398 ... Якщо за одиницю прийняти більший відрізок, то довжина Х буде виражатися величиною, зворотної j, тобто 1 / j. Цікаво, що 1 / j = 0,61803398 ... Число j - єдине позитивне число, яке переходить в зворотне йому при відніманні одиниці. Так само, це число тісно пов'язане з метричними властивостями деяких правильних багатокутників і багатогранників - п'ятикутника, десятіугольніка, додекаедру, ікосаедра, - так як воно дорівнює 2COS (p / 5). Подібно числу p, j можна представити у вигляді суми нескінченного ряду багатьма способами. Гранична простота наступних двох прикладів ще раз підкреслює фундаментальний характер j: j j = Число j ірраціональне, що не представляється у вигляді простого дробу. Однак, якщо скористатися першою з наведених формул, обриваючи нашу дріб на першому, другому, третьому і т.д. знаку плюс, то отримаємо ряд дробів, поступово, то зверху, то знизу наближається до j: 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, ... Справжні любителі математики звичайно помітили, що знаменники дробів утворюють послідовність чисел, які називаються числами Фібоначчі. Кожне з цих чисел, починаючи з другого, дорівнює сумі двох попередніх. У чисельнику теж знаходяться «попередні» числа Фібоначчі. Наведемо один з варіантів програми, що обчислює значення j за першим алгоритмом, складанням відбувають дробів:

Dim Q As Double

Private Sub Form_Load ()

Open "c: \ qeqq.dat" For Output As 1

Q = 1>

For i = 1 To 24

Q = 1 + 1 / Q

Print # 1, i, Q

Next i

End Sub

Програма написана на Visual Basic але цей же алгоритм можна реалізувати на Паскалі, Фортране, Бейсике, FoxPro - на будь-якому доступною мовою. Зверніть увагу, що змінна Q оголошена як double, тобто подвійної точності. Вся сіль алгоритму виражена в операторі «Q = 1 + 1 / Q» який обчислюється стільки раз, який порядковий номер дробу обчислюється, все інше служить обрамленням. Чи не правда витончено? Результатом роботи програми буде таблиця:

1 2 + 2 1,5
3 +1,66666666666667
4 1,6
5 1,625
6 +1,61538461538462
7 +1,61904761904762
8 +1,61764705882353
9 +1,61818181818182
10 +1,61797752808989
11 +1,61805555555556
12 +1,61802575107296
13 +1,61803713527851
14 +1,61803278688525
15 +1,61803444782168
16 +1,61803381340013
17 +1,61803405572755
18 +1,61803396316671
19 +1,6180339985218
20 +1,61803398501736
21 +1,6180339901756
22 +1,61803398820532
23 +1,6180339889579
24 +1,61803398867044

з якої видно, як наш алгоритм, поступово звужуючись, підбирається до числа j. Аналогічним чином можна «підбиратися» до числа j і за допомогою другої формули, через квадратні коріння:
Dim Q As Double
Private Sub Form_Load ()
Open "c: \ qeqq.dat" For Output As 1
Q = 1
For i = 1 To 24
Q = Sqr (1 + Q)
Print # 1, i, Q
Next i
End Sub
Результат роботи програми:

1 +1,4142135623731
2 +1,55377397403004
3 +1,59805318247862
4 +1,61184775412525
5 +1,61612120650812
6 +1,61744279852739
7 +1,61785129060967
8 +1,61797753093474
9 +1,61801654223149
10 +1,61802859747023
11 +1,618032322752
12 +1,61803347392815
13 +1,61803382966122
14 +1,61803393958879
15 +1,61803397355828
16 +1,61803398405543
17 +1,61803398729922
18 +1,61803398830161
19 +1,61803398861137
20 +1,61803398870709
21 +1,61803398873667
22 +1,61803398874581
23 +1,61803398874863
24 +1,6180339887495

Порівняння результатів говорить на користь другого методу, значення 1,618033 метод квадратних коренів досяг на дванадцятому кроці, а метод підсумовування дробів тільки на шістнадцятому. Раз вже ми так серйозно взялися за обчислення, було б просто нечесно залишити поза увагою трактування золотого перетину як відносини двох сусідніх членів ряду Фібоначчі. Тим більше, що сама тема обчислення чисел Фібоначчі надзвичайно цікава, так як пов'язана з поняттям рекурсії. Що таке функція в мовах програмування все представляють (зовсім коротко - це частина програми, що викликається для відпрацювання зі змінним параметром). А якщо функція викликає сама себе, то такий прийом називається рекурсією. У всіх підручниках з програмування рекурсія пояснюється на прикладі обчислення чисел Фібоначчі, а всі популярні статті про ці числа неодмінно згадують рекурсию. Аби не заглиблюватися в теоретичні хащі скажемо лише, що рекурсія дозволяє писати компактні з точки зору обсягу вихідного коду програми. Але з точки зору оптимальності роботи програми застосування рекурсії вельми сумнівно. Розглянемо приклад (тепер на Turbo Pascal'e), який обчислює потрібну нам золотий перетин за допомогою рекурсії. Вся родзинка в визначенні функції FIB: для першого і другого значення параметра вона дорівнює одиниці, а для кожного наступного видає суму двох останніх значень, причому визначає їх, викликаючи сама себе!

program m; uses crt;
VAR I: INTEGER; C: CHAR; F: TEXT;
FUNCTION FIB (T: INTEGER): LONGINT;
begin
IF (T = 1) OR (T = 2) THEN
Fib: = 1
ELSE Fib: = FIB (T-1) + FIB (T-2)
end;
BEGIN
ASSIGN (F, 'C: \ QQQ.DAT');
REWRITE (F);
CLRSCR;
FOR I: = 1 TO 24 DO BEGIN
WRITELN (F, I, '', FIB (I), '', FIB (i + 1), '', FIB (I + 1) / FIB (I));
END;
CLOSE (F);
C: = READKEY;
END.

Розглядаючи результат роботи програми ми бачимо, як відношення двох сусідніх чисел Фібоначчі поступово, то зверху, то знизу, наближається до золотого перетину.

1 + 1 1 1.0000000000E +00
2 1 2 2.0000000000E +00
3 2 3 1.5000000000E +00
4 3 5 1.6666666667E +00
5 5 8 1.6000000000E +00
6 8 13 1.6250000000E +00
7 13 21 1.6153846154E +00
8 21 34 1.6190476190E +00
9 34 55 1.6176470588E +00
10 55 89 1.6181818182E +00
11 89 144 1.6179775281E +00
12 144 233 1.6180555556E +00
13 233 377 1.6180257511E +00
14 377 610 1.6180371353E +00
15 610 987 1.6180327869E +00
16 987 1597 1.6180344478E +00
17 1597 2584 1.6180338134E +00
18 2584 4181 1.6180340557E +00
19 4181 6765 1.6180339632E +00
20 6765 10946 1.6180339985E +00
21 10946 17711 1.6180339850E +00
22 17711 28657 1.6180339902E +00
23 28657 46368 1.6180339882E +00
24 46368 75025 1.6180339890E +00

Значення 1,618033 з'явилося тільки на 17 кроці, що «слабкіше» перших способів, але, зате, ми отримали значення 24-х членів ряду Фібоначчі і познайомилися з рекурсією. Але програма працює не оптимально - двадцятий значення вважалося близько п'яти секунд (на РIII-700, а сорокове більше хвилини). Занадто багато «рухів» здійснює рекурсивна функція, кількість їх лавиноподібно зростає з ростом числа, витонченість кодування пішла на шкоду продуктивності. А як же треба було складати програму для ефективної роботи? Задати масив і заповнювати його такий же функцією, але без рекурсії, звертаючись до вже порахували членам ряду, поміщеним в масив. Програма буде працювати «миттєво», але все це буде вже не так красиво.

В даний час числа Фібоначчі посилено вивчаються бізнесменами та економістами. Помічено, що хвилі, що описують коливання котирувань цінних паперів, є огинають маленьких хвиль, ті, в свою чергу, ще більше дрібних, а кількість дрібних коливань в періоді більшого відповідає ряду Фібоначчі. Вперше це запропонував Елліотт. Ральф Hельсон Елліотт був інженером. Після серйозної хвороби на початку 1930х рр. він вдався до аналізу біржових цін, особливо індексу Доу-Джонса. Після низки дуже успішних прогнозів Елліотт опублікував в 1939 році серію статей в журналі Financial World Magazine. У них вперше була представлена ​​його точка зору, що руху індексу Доу-Джонса підпорядковуються певним ритмам. Згідно Елліотту, всі ці рухи ідуть того ж закону, що і припливи - за припливом слід відлив, за дією (акцією) слід протидія (реакція). Ця схема не залежить від часу, оскільки структура ринку, взятого як єдине ціле, залишається незмінною. Він писав: "любoй людської діяльності притаманні три відмітних особливості: форма, час і ставлення, - і всі вони підкоряються суммационной послідовності Фібоначчі". Якщо ви розберетеся з числами Фібоначчі і хвилями Еліота, то можете розбагатіти, граючи на біржі цінних паперів. Зацікавлені можуть зайти на сайт компанії Elliott Wave International в інтернеті http://www.elliottwave.com/ Якщо погано з англійським, а розбагатіти хочеться - то заходьте на http://user.cityline.ru/~esfinkro/index.shtml , там є доступно викладена стаття про Хвилях Еліота.

Інтерес до золотого перетину підігрівається і періодичними сплесками популярності пірамід. Наприклад, на www.rcom.ru/tvv/Dm/str6.shtml можна знайти, серед інших знамень піраміди Хеопса, і що міститься в її пропорціях золотий перетин. Не обходиться і без курйозів. На згадуваної вже сторінці http: //bullbear.msm/ru/rus/fr_main513.shtml знаходимо: «Довжина грані піраміди в Гізі дорівнює 783.3 фути (238,7 м), висота піраміди - 484.4 фути (147.6 м). Довжина межі, поділена на висоту, приводить до співвідношення Ф = 1.618. Висота 484.4 фути відповідає 5813 дюймам (5-8-13) - це числа з послідовності Фібоначчі. »Весь гумор в тому, що стародавні єгиптяни навряд чи вимірювали що-небудь в дюймах (ось метри - інша справа j), і поява тут чисел Фібоначчі пояснити без містики ну ніяк неможливо. Тим, хто цікавиться сучасним пірамідобудування і незвичайними явищами, що відбуваються в пірамідах, рекомендую статтю ентузіаста пірамід Олександра Голоду «Піраміди в пропорціях Золотого Перетини - генератор життя», розташовану на http://www.slavaiv.narod.ru/ . Найбільша Піраміда висотою 44 метра побудована в кінці 1999 року недалеко від Москви на 38 км шосе Москва-Рига, її не раз показували по ТБ, розповідали про події у ній чудеса. Можна і не говорити, що пропорції піраміди підкоряються розглянутим нами співвідношенням. Ну от і все. Тепер ви не тільки інтуїтивно виберіть пропорції будується вами палацу, а й уточніть їх, довівши до золотого перетину. Завдання додому. Мартін Гарднер, ведучий рубрики цікавої математики в журналі Scientific American, отримав лист від своїх читачів з повідомленням, що в середньому відношення зростання людини до висоти пупка одно j. Треба б це перевірити, причому, жінки можуть замірятися на підборах. І для самих-самих витончених любителів - як зміняться результати роботи трьох наведених програм, якщо обчислення починати не з одиниці, а, наприклад, зі ста?

Версія для друку
PS Матеріал захищений.
Дата публікації 07.03.2004гг

НОВІ СТАТТІ ТА ПУБЛІКАЦІЇ
	Технологія виготовлення універсальних муфт для бесварочного, безрезьбовиє, бесфлянцевого з'єднання відрізків труб в трубопроводах високого тиску (мається відео)
	Технологія очищення нафти і нафтопродуктів
	Про можливість переміщення замкнутої механічної системи за рахунок внутрішніх сил
	Світіння рідини в тонких діелектричних каналох
	Взаємозв'язок між квантової і класичної механікою
	Міліметрові хвилі в медицині. Новий погляд. ММВ терапія
	магнітний двигун
	Джерело тепла на базі нососних агрегатів