| початок розділу
Виробничі, аматорські радіоаматорські Авіамодельний, ракетомодельного Корисні, цікаві |
хитрощі майстру
електроніка фізика технології винаходи |
таємниці космосу
таємниці Землі таємниці Океану хитрощі Карта розділу |
  |
| Використання матеріалів сайту дозволяється за умови посилання (для сайтів - гіперпосилання) | |||
Навігація: => |
На головну / Фізика / Студентам / |
|
ТЕОРІЯ ХАОСУ
Іван Тугий
Теорія хаосу - це вчення про складні нелінійних динамічних системах. Нижче розглядається справжній стан речей, як відповідь багатьом помилковим уявленням про цю області науки.
- Що таке теорія хаосу?
- Неправильне уявлення про теорію хаосу
- Теорія хаосу про безлад
- Застосування теорії хаосу в реальному світі
- Броунівський рух і його застосування
- Рух більярдного кульки
- Інтеграція детермінованих фракталів і хаос
ЩО ТАКЕ ТЕОРІЯ ХАОСА?
Формально, теорія хаосу визначається як вчення про складні нелінійних динамічних системах. Під терміном складні це і розуміється, а під терміном нелінійні розуміється рекурсія і алгоритми з вищої математики, і, нарешті, динамічні - означає непостійні і неперіодичні. Таким чином, теорія хаосу - це вчення про постійні зміни складних системах, що грунтується не математичних концепціях рекурсії, у формі чи рекурсивного процесу або набору диференціальних рівнянь, що моделюють фізичну систему.
НЕПРАВИЛЬНІ ПОДАННЯ Про ТЕОРІЇ ХАОСА
Широка громадськість звернула увагу на теорію хаосу завдяки таким фільмам, як Парк юрського періоду, і завдяки їм же, постійно збільшується побоювання теорії хаосу з боку суспільства. Однак, як і щодо будь-якої речі, що освітлюється засобами масової інформації, щодо теорії хаосу виникло багато неправильних уявлень.
Найбільш часто зустрічається невідповідність полягає в тому, що люди вважають, що теорія хаосу - це теорія про безлад. Ніщо не могло б бути так далеко від істини! Це не спростування детермінізму і не твердження про те, що впорядковані системи неможливі; це не заперечення експериментальних підтверджень і не заява про марність складних систем. Хаос в теорії хаосу і є порядок - і навіть не просто порядок, а сутність порядку.
|
Це правда, що теорія хаосу стверджує, що невеликі зміни можуть породити величезні наслідки. Але однією з центральних концепцій в теорії є неможливість точного передбачення стану системи. Загалом, завдання моделювання загальної поведінки системи цілком здійсненна, навіть проста. Таким чином, теорія хаосу зосереджує зусилля не на безладді системи - спадкової непередбачуваності системи - а на успадкованому їй порядку - Загалом в поведінці схожих систем. Таким чином, було б неправильним сказати, що теорія хаосу про безлад. Щоб пояснити це на прикладі, візьмемо аттрактор Лоренца (рі.1). Він заснований на трьох диференціальних рівняннях, трьох константи і трьох початкових умовах. |
Мал. 1 Аттрактор Лоренца |
Аттрактор представляє поведінку газу в будь-який заданий час, і його стан в певний момент залежить від його стану в моменти часу, що передували цьому. Якщо вихідні дані змінити навіть на дуже маленькі величини, скажімо, ці величини малі настільки, що співмірні з коливаннями числа Авогадро (дуже маленьке число порядку 10 24), перевірка стану аттрактора покаже абсолютно інші числа. Це відбувається тому, що маленькі відмінності збільшуються в результаті рекурсії.
Однак, незважаючи на це, графік аттрактора буде виглядати досить схоже. Обидві системи будуть мати абсолютно різні значення в будь-який заданий момент часу, але графік аттрактора залишиться тим же самим, тому що він висловлює загальну поведінку системи.
Теорія хаосу говорить, що складні нелінійні системи є спадково непередбачуваними, але, в той же час, теорія хаосу стверджує, що спосіб вираження таких непередбачуваних систем справджується не в точних рівності, а в уявленнях поведінки системи - в графіках дивних атракторів або під фракталах. Таким чином, теорія хаосу, про яку багато хто думає як про непередбачуваність, виявляється, в той же час, наукою про передбачуваності навіть в найбільш нестабільних системах.
При появі нових теорій, всі хочуть дізнатися що ж в них хорошого. Отже що хорошого в теорії хаосу?
Перше і найважливіше - теорія хаосу - це теорія. А значить, що більша її частина використовується більше як наукова основа, ніж як безпосередньо застосовується знання. Теорія хаосу є дуже хорошим засобом поглянути на події, що відбуваються в світі відмінно від більш традиційного чітко детерминистического погляду, який домінував у науці з часів Ньютона. Глядачі, які подивилися Парк Юрського періоду, без сумніву бояться, що теорія хаосу може дуже сильно вплинути на людське сприйняття світу, і, в дійсності, теорія хаосу корисна як засіб інтерпретації наукових даних по-новому. Замість традиційних XY графіків, вчені тепер можуть інтерпретувати фазово-просторові діаграми які - замість того, щоб описувати точне положення якої-небудь змінної в певний момент часу - представляють загальну поведінку системи. Замість того, щоб дивитися на точні рівності, засновані на статистичних даних, тепер ми можемо поглянути на динамічні системи з поведінкою схожим за своєю природою на статичні дані - тобто системи зі схожими аттракторами. Теорія хаосу забезпечує міцний каркас для розвитку наукових знань.
Однак, згідно з вищесказаного не слід, що теорія хаосу не має додатків в реальному житті.
Техніки теорії хаосу використовувалися для моделювання біологічних систем, які, безперечно, є одними з найбільш хаотичних систем з усіх що можна собі уявити. Системи динамічних рівності використовувалися для моделювання всього - від зростання популяцій і епідемій до аритмических серцебиття.
Насправді, майже будь-яка хаотична система може бути змодельована - ринок цінних паперів породжує криві, які можна легко аналізувати за допомогою дивних атракторів на відміну від точних співвідношень; процес падіння крапель з протікає водопровідного крана здається випадковим при аналізі неозброєним вухом, але якщо його зобразити як дивний аттрактор, відкривається надприродний порядок, якого не можна було б очікувати від традиційних засобів.
Фрактали знаходяться всюди, найбільш помітні в графічних програмах як наприклад дуже успішна серія продуктів Fractal Design Painter. Техніки фрактального стиснення даних все ще розробляються, але обіцяють дивовижні результати як наприклад коефіцієнта стиснення 600: 1. Індустрія спеціальних ефектів в кіно, мала б горазда менш реалістичні елементи ландшафту (хмари, скелі і тіні) без технології фрактальної графіки.
І, звичайно, теорія хаосу дає людям дивно цікавий спосіб того, як придбати інтерес до математики, однією з найбільш чуть-популярної області пізнання на сьогоднішній день.
Броунівський рух - це, наприклад, випадкове і хаотичне рух частинок пилу, зважених у воді. Цей тип руху, можливо, є аспектом фрактальної геометрії, що має з найбільше практичне використання. Випадкове Броунівський рух виробляє частотну діаграму, яка може бути використана для передбачення речей, що включають велику кількість даних і статистики. Хорошим прикладом є ціни на шерсть, які Мандельброт передбачив за допомогою броунівського руху.
|
Мал. 2 Частотна діаграма |
Частотні діаграми, створені при побудові графіка на основі броунівського чисел так само можна перетворити в музику. Звичайно цей тип фрактальної музики зовсім музикальний і може дійсно втомити слухача. Заносячи на графік випадково броунівський числа, можна отримати Пилєвій Фрактал на зразок того, що наведений тут як приклад. |
|
Крім застосування броунівського руху для отримання фракталів з фракталів, воно може використовуватися і для створення ландшафтів. У багатьох фантастичних фільмах, як наприклад Star Trek техніка броунівського руху була використана для створення інопланетних ландшафтів таких, як пагорби і топологічні картини високогірних плато. Ці техніки дуже ефективні, і їх можна знайти в книзі Мандельброта Фрактальна геометрія природи. Мандельброт використав броунівський лінії для створення фрактальних ліній узбережжя і карт островів (які насправді були просто у випадковому порядку зображені точки) з висоти пташиного польоту. |
Мал. 3 |
Той, хто коли небудь брав в руки кий для більярду, знає, що ключ до гри - точність. Найменша помилка у вугіллі початкового удару може швидко привести до величезної помилку в положенні кульки всього після кількох зіткнень. Ця чутливість до початкових умов звана хаосом виникає нездоланним бар'єром для будь-якого, хто сподівається передбачити або керувати траєкторією руху кульки більше ніж після шести або семи зіткнень. І не варто думати, що проблема полягає в пилу на столі або в нетвердою руці. Фактично, якщо ви використовуєте ваш комп'ютер для побудови моделі, що містить більярдний стіл, що не володіє жодним тертям, нелюдським контролем точності позиціювання кия, вам все одно не вдасться передбачати траєкторію кульки досить довго!
|
Мал. 4 |
Мал. 5 |
Наскільки довго? Це залежить частково від точності вашого комп'ютера, але в більшій мірі від форми столу. Для абсолютно круглого столу, можна прорахувати приблизно до 500 положень зіткнень з помилкою близько 0.1 відсотка. Але варто змінити форму столу так, щоб вона стала хоча б трошки неправильною (овальної), і непередбачуваність траєкторії може перевищувати 90 градусів вже після 10 зіткнень! Єдиний шлях отримати картинку загальної поведінки більярдного кульки, відскакували від чистого столу - це зобразити кут відскоку або довжину дуги відповідну кожного удару. Тут наведено два послідовних збільшення такої фазово-просторової картини.
Кожна окрема петля або область розкиду точок являє поведінку кульки, що походить від одного набору початкових умов. Область картинки, на якій відображаються результати якогось одного конкретного експерименту, називається аттракторной областю для даного набору початкових умов. Як можна бачити форма столу, використаного для цих експериментів є основною частиною аттракторних областей, які повторюються послідовно у зменшувати масштабі. Теоретично, таке самоподоба має тривати вічно і якщо ми будемо збільшувати малюнок все більше і більше, ми б отримували всі ті ж форми. Це називається дуже популярним сьогодні словом фрактал.
З розглянутих прикладів детерминистских фракталів можна побачити, що вони не виявляють жодного хаотичного поведінки і що вони насправді дуже навіть передбачувані. Як відомо, теорія хаосу використовує фрактал для того, щоб відтворити або знайти закономірності з метою передбачення поведінки багатьох систем в природі, таких як, наприклад, проблема міграції птахів.
Тепер давайте подивимося, як це насправді відбувається. Використовуючи фрактал, званий Деревом Піфагора, що не розглядається тут (який, до речі, не винайдено Пифагором і ніяк не пов'язаний з теоремою Піфагора) і броунівського руху (яке хаотично), давайте спробуємо зробити імітацію реального дерева. Впорядкування листя і гілок на дереві досить складно і випадково і, ймовірно не є чимось досить простим, що може емулювати коротка програма з 12 рядків.
Для початку потрібно згенерувати Дерево Піфагора (Рис. 6). Результат нагадує ті старі дитсадкові малюнки ... Так що давайте зробимо стовбур товщі. На цій стадії Броунівський рух не використовується. Замість цього, кожен відрізок лінії тепер став лінією симетрії прямокутника, який стає стовбуром, і гілок зовні. |
Мал. 6 |
|
Мал. 7 |
Але результат все ще виглядає занадто формальним і впорядкованим. Дерево ще не виглядає як жива. Спробуємо застосувати деякі з тих знань в області детермінованих фракталів, які ми тільки що придбали. |
Тепер можна використовувати Броунівський рух для створення деякої випадкової безладності, яка змінює числа, округляючи їх до двох розрядів. В оригіналі були використані 39 розрядні десяткові числа. Результат (Рис. 8) не виглядає як дерево. Замість цього, він виглядає як хитромудрий рибальський гачок! |
Мал. 8 |
|
Мал. 9 |
Може бути округлення до 2 розрядів було надто вже багато? Знову застосовуємо Броунівський рух, округлене на цей раз до 7 розрядів. Результат, як і раніше виглядає як рибальський гачок, але на цей раз у формі логарифмічною спіралі (Рис. 9) |
Так як ліва сторона (що містить всі непарні числа) не виробляє ефект гачка, випадкові безладності, вироблені Броунівським рухом застосовуються двічі до всіх чисел з лівого боку і тільки один раз до числам справа. Можливо цього буде достатньо щоб виключити або зменшити ефект логарифмічною спіралі. Отже, числа округлюються до 24 розрядів. На цей раз, результат - приємно виглядає комп'ютеризована хаотична емуляція реального дерева (Рис. 10). |
Мал. 10 |
Версія для друку
Автор: Іван Тугий
PS Матеріал захищений.
Дата публікації 19.12.2004гг
Коментарі
Коментуючи, пам'ятайте про те, що зміст і тон Вашого повідомлення можуть зачіпати почуття реальних людей, проявляйте повагу та толерантність до своїх співрозмовників навіть у тому випадку, якщо Ви не поділяєте їхню думку, Ваша поведінка за умов свободи висловлювань та анонімності, наданих інтернетом, змінює не тільки віртуальний, але й реальний світ. Всі коменти приховані з індексу, спам контролюється.