This page has been robot translated, sorry for typos if any. Original content here.

головоломка, паззл, пузель, завдання, мартин, Гарднер, логіка, парадокс, кара, укладений, яйце, mind, замкнуте коло, порочне коло, петля, протиріччя

Мартін Гарднер: Страта зненацька і пов'язаний з нею логічний парадокс

Повернутися до списку

"З'явився чудовий новий парадокс", - так починалася мало зрозуміла для непосвяченого стаття Майкла скривився в липневому номері британського філософського журналу Mind за 1951 рік. Скривив займав кафедру філософії науки в Університеті штату Індіана, і в подібних питаннях з його думкою не можна було не рахуватися. Парадокс дійсно виявився чудовим. Достатня тому підтвердження - більше двадцяти статей про нього в різних наукових журналах. Автори, серед яких були відомі філософи, сильно розійшлися в думках щодо того, що слід вважати рішенням парадоксу. За багато років ні до якої угоди прийти не вдалося, так що парадокс і понині є предметом гарячих суперечок.

Невідомо, кому першому спала на думку ідея парадоксу. Згідно У. В. Куайну, логіку з Гарвардського університету, автору однієї з згадуваних вище статей, вперше про цей феномен заговорили на початку сорокових років нашого століття, нерідко формулюючи його у вигляді головоломки про людину, засуджену до страти через повішення.

Засудженого кинули до в'язниці в суботу.
- Тебе повісять опівдні, - сказав йому суддя, - в один з семи днів наступного тижня. Але в який саме день це має статися, ти дізнаєшся лише вранці в день страти.
Суддя славився тим, що завжди тримав своє слово. Засуджений повернувся в камеру в супроводі адвоката. Як тільки їх залишили удвох, захисник задоволено посміхнувся.
- Невже не зрозуміло? - вигукнув він.- Адже вирок судді не можна привести у виконання!
- Як? Нічого не розумію, - пробурмотів в'язень.
- Зараз поясню. Очевидно, що в наступну суботу тебе не можуть повісити: субота - останній день тижня, і в п'ятницю вдень ти б уже знав напевно, що тебе повісять в суботу. Таким чином, про день страти тобі б стало відомо до офіційного повідомлення в суботу вранці, отже, наказ судді був би порушений.
- Вірно, - погодився укладений.
- Отже, субота, безумовно, відпадає, - продовжував адвокат, - тому п'ятницю залишається останнім днем, коли тебе можуть повісити. Однак і в п'ятницю повісити тебе не можна, бо після четверга залишилося б лише два дні - п'ятниця і субота. Оскільки субота не може бути днем ​​страти, повісити тебе повинні лише в п'ятницю. Але раз тобі про це стане відомо ще в четвер, то наказ судді знову буде порушений. Отже, п'ятниця теж відпадає. Отже, останній день, коли тебе ще могли б стратити, це четвер. Однак четвер теж не годиться, тому що залишившись в середу живим, ти відразу зрозумієш, що страта повинна відбутися в четвер.
- Все зрозуміло! - вигукнув укладений, відродившись духом.- Точно так же я можу виключити середу, четвер і понеділок. Залишається тільки завтрашній день. Але завтра мене напевно не повісять, бо я знаю про це вже сьогодні!

Коротше кажучи, вирок внутрішньо суперечливий. З одного боку, в двох твердженнях, з яких він складаються, немає нічого логічно суперечливого, а з іншого - привести його у виконання, виявляється, неможливо. Саме так уявляв собі парадокс Д. Дж. О'Коннор, філософ з Ексетерського університету, першим опублікував статтю про цей феномен (Mind, July 1948). У формулюванні О'Коннора фігурував офіцер, що оголошує своїм підлеглим про те, що на наступному тижні має відбутися тривога, про яку ніхто не повинен знати заздалегідь аж до 18.00 того дня, на який її призначено.

"Як легко бачити, - писав О'Коннор, - з самого визначення випливає, що ніякої тривоги взагалі бути не може". О'Коннор, мабуть, мав на увазі, що оголосити тривогу, не порушивши при цьому вищенаведеної умови, неможливо. Аналогічної думки дотримуються і автори пізніших статей.

Якби парадокс цим вичерпувався, то можна було б приєднатися до думки О'Коннора, якому вся проблема здалася "сущою дрібницею". Однак скривився першим помітив щось, вислизнуло від уваги інших авторів і робить проблему далеко не такий простий. Щоб усвідомити суть зауваження скривився, повернемося до історії з людиною, кинутим у в'язницю. Бездоганними логічними міркуваннями його, здавалося б, переконали в тому, що, не порушивши вироку, кара зробити неможливо. І раптом, на превеликий подив засудженого, в четвер вранці в камеру є кат. Засуджений, звичайно, цього не чекав, але найдивніше, що вирок виявився абсолютно точним - його можна привести у виконання в повній відповідності з формулюванням. "Мені здається, - пише скривився, - що саме грубе вторгнення зовнішнього світу, що руйнує тонкі логічні побудови, надає парадоксу особливу пікантність. Логік з зворушливим постійністю вимовляє заклинання, які в минулому приводили до потрібного результату, але чудовисько-реальність на цей раз відмовляється коритися і продовжує слідувати своїм шляхом ".

Щоб розібратися в тих лінгвістичних труднощі, з якими ми зустрічаємося в цьому парадоксі, слід привести дві нові його формулювання, еквівалентні першої. Це допоможе нам виключити різного роду чинники, що не стосуються справи і лише затемняющие кінцевий результат: можливість зміни вироку суддею, смерть ув'язненого до страти і т.д.

_ Розглянемо перший варіант парадоксу, запропонований Скрявеном, -парадокс з яйцем-сюрпризом.

Уявіть собі, що перед вами стоять десять коробок, перенумерованих числами від 1 до 10. Ви відвертається, а ваш приятель кладе в одну з коробок яйце і просить вас повернутися назад. "Відкривай все коробки по черзі, - каже він, - спочатку першу, потім другу і так по порядку до десятої. Гарантую, що в одній з них лежить яйце-сюрприз. Назвавши яйце сюрпризом, я маю а увазі, що ти не зможеш дізнатися номер коробки з яйцем до тих пір, поки не відкриєш цю коробку і сам не побачиш яйця ".

Припустимо, що ваш приятель завжди говорить тільки правду. Здійснимо тоді його пророкування? Очевидно, немає. Він напевно не покладе яйце в коробку 10, тому що, відкривши перші дев'ять коробок і нічого в них не виявивши, ви зможете з упевненістю стверджувати, що яйце лежить в єдиною залишилася коробці. Це суперечило б передбачення вашого приятеля, тому десята коробка виключається. Розглянемо тепер, що вийшло б, якби ваш приятель по некмітливості сховав яйце в дев'яту коробку. Перші вісім коробок тоді виявляться порожніми, і перед вами залишаться дві закриті коробки: дев'ята і десята. У десятій коробці яйця бути не може, отже, воно лежить в коробці 9. Ви відкриваєте дев'яту коробку, і яйце, звичайно, виявляється там. Однак ясно, що яйце не можна вважати сюрпризом. Таким чином, ми знову довели, що ваш приятель неправий. Коробка 9 теж виключається. Але саме в цей самий момент ви і "відриваєтеся від реальності": за допомогою аналогічних міркуванні можна виключити спочатку восьму коробку, потім сьому і так далі, аж до першої! Нарешті, будучи абсолютно впевненим у тому, що всі десять коробок порожні, ви починаєте їх по черзі відкривати і ... Що це біліє в коробці 5? Яйце-сюрприз! Отже, всупереч всім вашим міркуванням пророкування вашого друга виправдалося. Значить, помилилися ви, але в чому?

Щоб надати парадоксу ще більш "парадоксальну" форму, розглянемо третій варіант його формулювання, який можна назвати парадоксом з непередбачуваною картою. Уявіть собі, що за столиком навпроти вас сидить ваш приятель і тримає в руках тринадцять карт масті пік. Перетасувавши ці карти і розправивши їх в руці віялом, картинками до себе, він викладає на стіл одну закриту карту. Ви повинні повільно перерахувати по порядку всі тринадцять карт, починаючи з туза (Туз відповідає 1, валет - 11, дама - 12 і король - 13 очками.) І кінчаючи королем. Коли ви назвете лежить на столі карту, ваш приятель повинен сказати "так", у всіх інших випадках він говорить "ні".

- Ставлю тисячу доларів проти десяти центів, - каже він, - що ти не зможеш визначити цю карту до тих пір, поки я не скажу "так".

Припустимо, що ваш приятель зробить все від нього залежне, щоб не втратити грошей. Чи може він при цьому умови покласти на стіл короля пік? Очевидно, що ні. Після того як ви перерахуєте перші дванадцять карт, залишиться тільки король, і ви з повною упевненістю його назвете. Може бути, перевернута карта - дама? Ні, тому що після того, як буде названий валет, залишаться лише дві карти: король і дама. Оскільки короля ви вже виключили, невідома карта може бути тільки жінкою. Здавалося б, все правильно, і ви знову виграєте 1000 доларів. Аналогічно виключаються і всі інші можливості. Виходить, що незалежно від карти ви її знаєте наперед. Наведена вище ланцюжок умовиводів здається невразливою. З іншого боку, очевидно, що, дивлячись на зворотний бік перевернутої карти, ви не маєте жодного уявлення про те, що це за карта!

Навіть в спрощеному варіанті цією парадоксу (з двома днями, з двома коробками або всього з двома картами) важко позбутися відчуття якоїсь вельми своєрідною неясності. Нехай у вашого приятеля є тільки туз і двійка. Якщо він покладе на стіл двійку, то ви дійсно виграєте. Назвавши туза, ви його тим самим виключили і з повною упевненістю можете заявити: "Я прийшов до висновку, що на столі лежить двійка". Роблячи такий висновок, ви виходите з припущення, що справедливо наступне твердження: "Що лежить переді мною карта повинна бути або тузом пік, або двійкою пік". (В трьох відповідних варіантах парадоксу передбачається, що засуджений буде повішений, карти будуть тільки такими, які назвав ваш приятель, і що в одній з коробок неодмінно лежить яйце.) Ви ні в чому не згрішили проти логіки і має право сподіватися, що вам вдасться виграти у вашого приятеля 1000 доларів.

Припустимо, однак, що ваш приятель поклав на стіл туза пік. Чи можете ви відразу зміркувати, що викладена ним карта - саме туз? Безумовно, ваш приятель не став би ризикувати 1000 доларів, поклавши двійку. Тому невідома карта повинна бути тузом. Ви вимовляєте ці слова вголос і чуєте у відповідь "так". Чи є у вас підстави вважати, що ви виграли парі?

Як не дивно, але таких підстав у вас немає. Намагаючись розібратися в причинах такого дивного твердження, ми підходимо до самої суті нашого парадоксу. Ваше попереднє ув'язнення ґрунтувалося на тому, що карта може бути або тузом, або двійкою, тому якщо невідома карта не є тузом, то вона обов'язково повинна бути двійкою. Однак тут ви використовували ще одне додаткове припущення:
Ви вважаєте, що ваш приятель каже правду або, просто кажучи, робить все від нього залежне, щоб не втратити 1000 доларів. Але якщо ви шляхом логічних міркуванні встановіть, що на столі лежить саме туз, то врятувати свої 1000 доларів ваш приятель не зможе, навіть якщо він викласти не двійку, а туза. Оскільки ваш приятель в будь-якому випадку позбавляється своїх грошей, у нього немає підстав надавати перевагу одну карту іншого. Коштує це зрозуміти, як ваша впевненість в тому, що на столі лежить туз, відразу стає вельми хиткою. Правда, ви поступаєте цілком розумно, тримаючи парі, що невідома карта - туз, тому що вона насправді може виявитися тузом. Але ж для виграшу потрібно набагато більше: ви повинні довести, що прийшли до свого висновку за допомогою "залізної" логіки, а це неможливо. Таким чином, в ваших міркуваннях міститься порочне коло. Спочатку ви припускаєте, що ваш приятель передбачив подія правильно, і, спираючись на своє припущення, робите висновок, згідно з яким невідома карта повинна бути тузом. Але якщо на столі лежить туз, то ваш приятель помилився в своєму прогнозі і, отже, вам нема на що спертися при відгадуванні перевернутої карти. Але і це ще не все. Раз ви не можете визначити карту, то пророкування вашого друга вірно. Отже, ви повернулися в вихідну точку, і все коло починається спочатку. У цьому сенсі ситуація нагадує порочне коло в міркуваннях, пов'язаних з відомим парадоксом запропонованим вперше англійським математиком П. Е. Б. Журденом в 1913 році. У міркуваннях, аналогічних описаним вище, ви ходите по колу, весь час повертаючись в вихідну позицію: визначити логічним шляхом, яка карта лежить на столі, неможливо. Не виключено, звичайно, що ви її вгадаєте. Знаючи свого приятеля, ви можете прийти до висновку, що на столі, найімовірніше, лежить туз. Однак жоден поважаючий себе логік не назве схему ваших умовиводів бездоганно суворої.

Вся необгрунтованість ваших умовиводів стає особливо наочною на прикладі з десятьма коробками. Спочатку ви "робите висновок", що яйце лежить в коробці 1, але ця коробка марна. Звідси ви укладаєте, що яйце належить в коробку 2, але і в ній не знаходите нічого. Це наштовхує вас на думку, що яйце лежить в коробці 3, і т. Д. (Все відбувається так, немов за секунду до того, як ви заглянете в коробку, де, на вашу думку, має лежати яйце, хтось зовсім незрозумілим чином перекладає його в коробку з великим номером.) Нарешті ви знаходите довгоочікуване яйце в коробці 8. чи можна тепер назвати цю подію заздалегідь передбачуваним, а всі ваші міркування вважати бездоганними з точки зору логіки? Безумовно, немає, тому що ви вісім разів скористалися одним і тим же методом і в семи випадках отримали невірний результат. Легко зрозуміти, що яйце може бути в будь-який коробці, в тому числі і в самій останньої.
Навіть після того як ви відкрили 9 порожніх коробок, питання про те, чи можна логічним шляхом прийти до висновку про місцезнаходження яйця (чи знаходиться воно в коробці 10 чи ні), залишається відкритим. Прийнявши лише одне припущення ( "Одна з коробок неодмінно містить яйце"), ви, зрозуміло, будете вправі стверджувати, не вступаючи в суперечність з законами логіки, що яйце знаходиться в коробці 10. У цьому випадку виявлення яйця в коробці 10 - подія, передбачувана заздалегідь, а твердження про те, що ніби його не можна передбачити, помилково. Прийнявши ще одне припущення (що ваш приятель каже правду, коли стверджує, що "координати" яйця, тобто номер коробки з яйцем, можна передбачити заздалегідь), ви позбавите себе можливості робити будь-які логічні висновки, бо, згідно з першим припущенням, яйце має перебувати в коробці 10 (і ви можете стверджувати це заздалегідь), а згідно з другим - ви повинні виявити яйце раптово для себе. Оскільки прийти до якогось висновку не можна, виявлення яйця в коробці 10 слід вважати непередбачуваним заздалегідь подією, а обидва припущення - правильними, але їх "реабілітація" наступить не раніше, ніж ви відкриєте останню коробку і виявите в ній яйце.

Простежимо ще раз рішення парадоксу, надавши йому на цей раз форму парадоксу про людину, засуджену до повішення. Тепер ми знаємо, що суддя сформулював вирок правильно, а в'язень міркував невірно. Помилковим був найперший крок у його міркуванні, коли він вважав, ніби його не можуть повісити в останній день тижня. Насправді ж у засудженого немає підстав робити які б то не було висновку про свою долю навіть у вечір напередодні страти (ситуація тут та сама, що і в парадоксі з яйцем, коли залишається закритою одна остання коробка). Ця думка відіграє вирішальну роль в роботі відомого логіка Куайна, написаної ним у 1953 році.
Куайн повідомляє, як би він міркував на місці в'язня. Слід розрізняти чотири випадки: перший - мене повісять завтра вдень, і я знаю про це вже зараз (але насправді я цього не знаю); другий - мене не повісять завтра вдень, і я знаю про це вже зараз (але насправді я цього не знаю); третій - мене не повісять завтра вдень, але зараз я про це не знаю і, нарешті, четвертий - мене повісять завтра вдень, але зараз я про це не знаю.
Два останніх випадки є можливими, останній з них означав би приведення вироку у виконання. У такій ситуації нема чого загадувати наперед і ловити суддю на протиріччях. Залишається лише чекати, сподіваючись на краще.

Шотландський математик Томас Г. О'Бейрн в статті з трохи парадоксальним назвою "Чи може несподіване ніколи не статися?" (The New Scientist, May 25, 1961.) дає чудовий аналіз обговорюваного феномена. Як показує О'Бейрн, ключ до вирішення парадоксу лежить в усвідомленні одного досить простого обставини: одна людина в своєму розпорядженні відомості, які дозволяють йому вважати правильним пророкування якоїсь події в майбутньому, інший нічого не може сказати про правильність передбачення до тих пір, поки це подія не відбудеться. Неважко привести прості приклади, що підтверджують думку О'Бейрна. Нехай хто-небудь, простягаючи вам коробку, каже: "Відкрийте її - всередині яйце". Він щось знає, що його передбачення вірно, ви ж не знаєте цього до тих пір, поки не відкриєте коробки.

Те ж саме можна сказати про наш парадоксі, І суддя, і людина, кладе яйце в одну з коробок, і наш приятель з тринадцятьма картами - кожен з них знає, що його передбачення має виповнитися. Однак їх слова з прогнозом не можуть служити підставою для ланцюжка міркуванні, що приводить в кінцевому рахунку до спростування самого передбачення. Именно здесь кроется то бесконечное блуждание по кругу, которое, подобно фразе на лицевой стороне карточки из парадокса Журдена, обрекает на неудачу все попытки доказать ошибочность предсказания.

Суть нашего парадокса станет особенно ясной, если воспользоваться одной идеей, высказанной в статье Скривена. Предположим, что муж говорит своей жене:
"Я сделаю тебе ко дню рождения сюрприз. Ты ни за что не догадаешься, какой подарок тебя ожидает. Это тот самый золотой браслет, который ты видела на прошлой неделе в витрине ювелирного магазина".
Что же теперь делать его несчастной жене? С одной стороны, она знает, что муж никогда не лжет и всегда выполняет свои обещания. Однако если он все же подарит ей золотой браслет, то это уже не будет сюрпризом и тогда обещание окажется невыполненным, то есть муж сказал ей неправду. А если это так, то к каким выводам может она прийти, рассуждая логически? Не исключено, что муж сдержит слово и подарит ей браслет, нарушив обещание удивить ее неожиданным подарком. С другой стороны, он может сдержать свое слово, что подарок будет неожиданным, но нарушить второе обещание и вместо золотого браслета подарит ей, например, новый пылесос. Поскольку муж своим утверждением сам себе противоречит, у нее нет никаких разумных оснований предпочесть одну из этих возможностей другой, следовательно, у нее нет оснований надеяться на золотой браслет. Нетрудно догадаться, что будет дальше: когда. в день рождения муж преподнесет ей браслет, подарок мужа окажется для нее приятным сюрпризом, поскольку его нельзя предсказать заранее никакими логическими рассуждениями. Муж все время знал, что может сдержать слово и сдержит его. Жена же этого не знала до тех пор, пока обещанное событие не произошло. Утверждение мужа, которое еще вчера казалось ей чепухой и ввергло ее в запутаннейший клубок логических противоречий, сегодня вдруг стало абсолютно правильным и непротиворечивым благодаря появлению долгожданного золотого браслета.

На примере рассмотренных парадоксов мы ясно ощутили волшебную силу слова (или, точнее, если воспользоваться выражением Бурбаки, силу "вольности речи"). Она-то и делает парадоксы столь сложными и вместе с тем столь привлекательными.

Очень многие читатели сообщили о весьма остроумных попытках решения парадокса об осужденном, которого должны повесить в не предсказуемый заранее день недели. Некоторые из них даже посвятили решению парадокса целые статьи в серьезных журналах.

Л. Экбом, преподаватель математики из Стокгольма, сообщил нам историю, которая вполне могла послужить поводом для формулировки парадокса о неожиданной казни. Как-то раз в 1943 или 1944 году шведское радио сообщило о том, что на следующей неделе намечено объявить учебную воздушную тревогу. Чтобы проверить готовность войск ПВО, учения решено провести внезапно, так что даже утром в день тревоги ни один человек не сможет предугадать, в котором часу она будет объявлена. Автор письма усмотрел а этом логический парадокс и обсудил его со своими студентами. В 1947 году один из этих студентов, будучи в Принстоне, услышал какой-то из вариантов того же парадокса из уст известного математика и логика Курта Гёделя. Далее автор пишет, что сначала он никак не связывал происхождение обсуждаемого парадокса со случаем объявления тревоги но шведскому радио, но это событие вполне могло быть источником парадокса, поскольку Куайн впервые узнал об этом парадоксе в начале сороковых годов.

Ниже вы прочтете два письма, авторы которых вовсе не пытаются разрешить парадокс, но приводят ряд весьма забавных (и запутанных) рассуждений.

Уважаемая редакция!

При чтении статьи о парадоксе с яйцом-сюрпризом создается впечатление, будто автор, логически доказав, что яйцо не может лежать ни в одной из коробок, был несколько удивлен, обнаружив его в коробке с номером 5. На первый взгляд это и в самом деле удивительно, но после тщательного анализа задачи можно доказать, что яйцо всегда будет находиться в коробке 5.

Доказательство проводится следующим образом.

Пусть S — множество всех утверждений, а Т — множество всех правильных (истинных) утверждений. Любой элемент множества (то есть любое утверждение) может принадлежать либо множеству Т, либо множеству С = S - Т. то есть дополнению множества Т, но не может принадлежать тому и другому множеству одновременно. Рассмотрим следующие два утверждения:
1. Каждое утверждение, написанное в этом прямоугольнике, принадлежит множеству С.
2. Яйцо всегда должно лежать и коробке 5.
Утверждение 1 принадлежит либо множеству Т, либо множеству C, но не тому и другому одновременно.
Если утверждение 1 принадлежит множеству Т, то оно истинно. Но если оно истинно, то любое утверждение, написанное в прямоугольной рамке — в том числе и утверждение 1, — принадлежит множеству С. Таким образом, предположив, что утверждение 1 принадлежит множеству Т, мы получим, что оно принадлежит множеству С, то есть придем к противоречию.
Предположим теперь, что утверждение 1 принадлежит множеству С. Тогда нам придется рассмотреть два случая:
случай, когда утверждение 2 принадлежит множеству С, и случай, когда утверждение 2 принадлежит множеству Т.
Пусть утверждение 2 принадлежит множеству С, тогда утверждения 1 и 2, то есть оба утверждения, обведенные прямоугольной рамкой, принадлежат множеству С. Именно в этом и состоит утверждение 1; следовательно, оно истинно и должно принадлежать множеству Т. Таким образом, предположив, что оба утверждения 1 и 2 принадлежат множеству С, мы получили, что утверждение I принадлежит множеству Т, то есть опять пришли к противоречию.
Если же утверждение 2 принадлежит множеству Т (а утверждение 1 — множеству С), то утверждение I, смысл которого сводится к тому, что каждое из утверждений, заключенных в прямоугольную рамку, принадлежит множеству С, противоречит тому, что утверждение 2 есть элемент множества Т. Следовательно, утверждение 1 ложно и должно принадлежать множеству С в полном соответствии со сказанным выше.
Таким образом, существует единственный непротиворечивый случай: когда утверждение 1 принадлежит множеству С, а утверждение 2 — множеству Т. Последнее означает, что утверждение 2 истинно.
Следовательно, яйцо будет всегда лежать в коробке 5.
Как видите, особенно удивляться, обнаружив яйцо в коробке 5. не стоит.

Дж. Вэриэн
Д. С. Беркс
Станфордский университет, штат Калифорния.

Уважаемая редакция!

Я с огромным интересом прочитал парадокс о человеке. приговоренном к повешению. Не могу не заметить, что если бы наш узник был квалифицированным статистиком, то он предпочел бы, чтобы казнь назначили на среду, то есть на четвертый день недели. В самом деле, пусть известно, что заключенного могут повесить только один раз. Предположим, что судья назначает день казни случайным образом. Тогда вероятность того, что заключенному придется ждать казни х дней, равна р(х) = 1/7, иначе говоря, любое число дней от вынесения приговора до казни равновероятно. Эта задача является простым частным случаем более общего гипергеометрического распределения вероятности где р(х) — вероятность того, что для получения k благоприятных исходов необходимо провести х испытаний, причем известно, что h "кандидатов" в благоприятные исходы случайно распределены среди общего числа N возможных исходов. В нашей задаче N = 7 (если учесть, что одного повешения более чем достаточна), h = k = 1. Тогда математическое ожидание, или среднее значение, х составляет 1/7(1-(-2-(-...-т-7) = 4 дня. Мне, однако, кажется, что никогда нельзя забывать о некоторых особенно въедливых читателях, которые исключат из рассмотрения среду на том основании, что она является "ожидаемым" днем.

Мільтон Р. Сейлер
Уортінгтон, штат Огайо.