головоломка, паззл, пузель, завдання, парадокс, Апорія, софізм, рассел, Гедель, Гедель, брехун

Статті про парадокси: "руху немає!"


Повернутися до списку статей про парадокси

Читач, мабуть, пам'ятає курйозний епізод з роману Сервантеса "Дон-Кіхот". Не встиг Санчо Панса освоїтися зі своїм губернаторським становищем, як йому вчинили хитромудре випробування.
Якесь маєток ділиться на дві половини багатоводні рікою. Через річку перекинутий міст, а поблизу зловісно височіє шибениця. Закон говорить: "Всяк проходить по мосту через цю річку що повинна оголосити під присягою, куди і навіщо він йде, а хто скаже правду, тих пропускати без перешкод, а хто збреше, тих без будь-якого жалю стратити через повішення".
І треба ж було так статися, що одного разу якийсь чоловік, приведений до присяги, заявив: він, мовляв, клянеться, що прийшов сюди, щоб його ... повісили на цю ось саму шибеницю і ні за чим іншим. Варто було бачити здивування суддів! Справді, якщо дозволити дивака-незнайомцю неможливе подальше її перевезення, то це буде означати, що він порушив присягу і відповідно до закону підлягає страти. З іншого боку, як його повісити? Адже він клявся, ніби тільки потім і прийшов, щоб його повісили, - стало бути, присяга його правдиві, і на підставі цього ж самого закону слід пропустити його недоторканним.
Бідолаха Санчо не міг похвалитися мудрістю біблійного царя Соломона. Однак він покірно взявся за нелегку справу і ніщо ж не вагаючись розсудив так: "Ту половину людини, яка сказала правду, нехай пропустять, а ту, що збрехала, нехай повісять". "Але, сеньйор губернатор, - заперечив приголомшений опонент, - якщо розрізати людини на частини, то він неодмінно помре, і тоді ні та, ні інша стаття закону не буде виконана. Тим часом закон вимагає, щоб його дотрималися у всій повноті!". Сеньйор губернатор, остаточно поставлений в глухий кут, по доброті душевній, порадив просто-напросто відпустити дивного прохача на всі чотири сторони.
Отже, закон був порушений. Але що міг вдіяти добрий простак Санчо, який не вмів навіть розписатися під своїм рішенням? Ну, а ми, читачі Сервантеса, перебуваючи у всеозброєнні логіки і математики, чи можемо ми через 400 років впоратися з подібними головоломками? Щоб розібратися в цьому питанні, нам доведеться заглянути в дивовижний світ парадоксів, побувати по ту сторону здорового глузду.
Парадокси відомі з незапам'ятних часів. Знаменитому критському філософу Епіменід, що жив в VI столітті до нашої ери, приписується досить невтішний відгук про своїх співвітчизників: "Все крітяни - брехуни". Тільки от лихо: сам Епіменід теж критянин! Виходить, що якщо Епіменід говорить правду, то він брехун, значить, він зводить наклеп на своїх земляків і на себе самого, тобто говорить неправду. Як же все-таки: помилково або істинно висловлювання, що ганьбить мешканців острова - колиски людської культури?
Парадокс Епіменіда, відомий інакше як "парадокс брехуна", зустрічається ще і в менш афористичній, зате більш сильній формі: "я брешу", або "висловлювання, яке я зараз вимовляю, помилково". Варте в лапках вираз, очевидно, не може бути без протиріччя ні істинним, ні хибним. Цей варіант парадоксу належить Евбулід (IV століття до н. Е.).
У 1913 році англійський математик Джордан додав в скарбничку парадоксів такої На одній стороні картки написано: "Затвердження на звороті цієї картки істинно." Що ж це за твердження? Перевернувши картку, ви читаєте: "Затвердження на звороті цієї картки помилково." Ось і спробуй розберися, що до чого. Якщо вірити першому повідомленню, то друге правильно. Але якщо правильно друге, то невірно першим! І навпаки.
В античній "дилемі крокодила" ситуація настільки ж трагікомічна і безглузда, що і у Сервантеса. Крокодил викрадає дитини. Чудовисько обіцяє батькам повернути дитя, якщо батько вгадає, віддасть йому крокодил дитини чи ні. Що робити бідному чудовиську, якщо батько раптом скаже, що крокодил не повернеться йому дитину?
Ми часто вдаємося в суперечках до послуг аргументу "немає правил без винятків", забуваючи, що цей вислів саме є правило і виходить, теж має мати винятки. Парадокс? Безсумнівно! І він виник тому, що санкції, декларовані законом, ми застосували до самого закону. Так що будьте обережні з подібними аргументами: вони загрожують логічними каверзами!
Цікавий витончений логічний парадокс, сформульований в 1908 році німецьким математиком Куртом Греллінга. Щоб увійти в курс справи розберемо визначення автологічних (самопріменімості) імені прикметника. Більшість прикметників не володіє якістю, яке воно позначає. Скажімо, слово "червоний" саме по собі не має червоного кольору, слово "ароматний" не пахне. Зате прикметник "російський" - дійсно російське, "трискладовий" - трискладові, "абстрактний" - абстрактно і т.д. Кожне з цих прикметників, за термінологією Греллінга, автологічних тобто має силу стосовно самого себе, володіючи тим же якістю, яким воно наділяє інші поняття. Інша річ - гетерологічние, тобто несамопріменімие прикметники. Скажімо слово "Трискладові" - саме по собі зовсім не Трискладові, "нескінченний" має кінцеві розміри, "конкретний" - за змістом абстрактно. Парадокс Греллінга виникає з питання: до якого класу віднести прикметник "несамопріменімий"? Самопріменімості воно чи ні? Припустимо, що прикметник "несамопріменімий" несамопріменімо. Тоді воно (згідно з наведеним визначенням Греллінга) самопріменімості! А раз воно самопріменімості, то на якій підставі воно названо нами несамопріменімим ?!
Ось ще один логічний сюрприз. Розглянемо вираз:
"Найменше натуральне число, яке не можна визначити за допомогою менше ніж тридцяти шести складів". Тим часом тільки що написане речення за допомогою тридцяти п'яти складів (порахуйте і переконайтеся самі!) Визначає не що інше, як число, яке, за визначенням, не можна визначити менше ніж набором з тридцяти шести складів!
Подібними нісенітницями рясніє історія логіки. Читач може випробувати свої сили, намагаючись вибратися з перерахованих смислових лабіринтів. (З тих пір як виникла ця проблема, не було знайдено жодного рішення, з яким би беззастережно погодилися вчені.) Втім, чи правильно сказано: "смислових лабіринтів"? У кожного лабіринту, яким би заплутаним він не був, є вихід. І якщо відвідувачі знаменитого Критського лабіринту надто довго блукали по хитросплетіннях його ходів, незмінно потрапляючи в лапи Мінотавра, то винні в цьому були вони самі. Відзначай люди найпростішими прийомами шлях, то, навіть не володіючи розвиненою здатністю орієнтуватися, вони отримали б не менше надійний засіб порятунку, ніж горезвісна нитка Аріадни. Іншими словами, в подібних випадках нас підводить лише нехтування законами логіки і геометрії. Інша справа парадокси. Їх формулювання настільки прості, настільки прозорі, що і блукати-то, власне, ніде: ні лабіринту як такого! Але хоч би витончені не були наші пізнання в області логіки і математики, ніякої, навіть самий відточений, меч розуму не в силах розрубати цей логічний гордіїв вузол ...
І ще одне уточнення. Під парадоксом зазвичай розуміють щось таке, що суперечить нашій інтуїції, нашому повсякденному досвіду, нашим безпосереднім відчуттям. Парадоксальним в цьому сенсі здавалося одкровення астрономів-геліоцентріста: не Сонце обертається навколо Землі, а Земля навколо Сонця. Але як би не бунтувала наша інтуїція, логіка наукового мислення невблаганно підводить нас до такого висновку. Тим часом існують парадокси іншого роду. Використовуючи той же логічний апарат, ті ж прийоми міркування - але ж вони шліфувалися тисячоліттями і на них засновані всі наші знання! - Ми неминуче приходимо до нерозв'язного протиріччя. Значить, мова йде про недосконалість, про вади, глибоко вкорінені в самій логічній системі нашого мислення.
Правда, у читача може виникнути питання: кому потрібна вся ця казуїстика? Та й чи потрібна вона взагалі?
Наведені смислові неясності є ні просто кумедні трюки логіки. Не раз парадокси були пов'язані з перебудовою основ мислення.

Особливо повчальна епопея знаменитих апорії (парадоксів) Зенона, які двадцять п'ять століть тому виявилися справжнісінькою сенсацією. Втім, не просто сенсацією, яка ненадовго травмує психіку обивателя, а потім безслідно зникає з голови. Вони помітно вплинули на прогрес математики, І до сих пір не сходять зі сторінок найсерйозніших математичних, логічних, філософських робіт, де вчені ламають списи і голови: подолані чи ні труднощі, породжені цими жахливими апоріями?
... Хто з читали гомеровскую "Іліаду" не пам'ятає сцену погоні грізного Ахілла за "шлемоблещущім", але порядком струхнувшім Гектором? Сильний біг попереду, але переслідував багато найсильніший ... Правда, гонка навколо Трої все-таки закінчилася поразкою Гектора. Але не в бігу! У смертельній сутичці. А перед поєдинком Ахілла довелося зупинитися, так і не наздогнавши ворога. Що ж, супостат був спритний і швидконогий. А якби він був незграбний і тихохода?
Так, граціозний і швидконогий могутній Ахілл, син Пелея, герой Троянської війни, оспіваний Гомером. І як незграбна, як тихохідний черепаха, всюди славляться еталоном повільності і нерозторопність! Чи їй змагатися в швидкості з легендарним бігуном? А ось античний мудрець Зенон вважав, що Ахілла нізащо не наздогнати черепаху. Переконання філософа грунтувалося на тому, що коли переслідують досягне місця, де знаходився переслідуваний в момент старту, наздоганяти бігун просунеться, хоча і трохи, далі. Значить, на новому невеликому діляночці шляху Ахілла знову доведеться наздоганяти черепаху. Але поки переслідувач добіжить до цього другого пункту, втікачка знову переміститься вперед. І так далі до нескінченності. Якщо ж це буде тривати без кінця і краю, то як Ахілла вдасться обігнати черепаху?
З іншого боку, з власного повсякденного досвіду кожен школяр знає, що він, аж ніяк не будучи Ахіллом, здатний запросто обігнати не тільки черепаху, але, чого доброго, і самого вчителя - варто тільки пролунати дзвінку, звіщати кінець уроку.
А чи немає "ахіллесовою п'яти" у самих міркуванні Зенона?
У класичному курсі логіки, написаному Мінто, прославлений бігун легко випереджає свою негідну суперницю, хоча дає їй фору не тільки в відстані - 100 сажнів (тут вжиті старовинні російські, а не давньогрецькі міри довжини, проте це не має значення), але і в швидкості : він рухається не в повну силу - всього в десять разів швидше черепахи. Тобто, по суті, крокує собі не поспішаючи, впевнений у перемозі. Правда, діставшись до місця, звідки рушила в путь-дорогу нерозторопна ставлениця Зенона, Пеле син побачить, що та встигла переповзти ще на 10 сажнів вперед. Поки Ахілл подолає ці 10 сажнів, черепаха піде ще на сажень. Що ж, прудконогих нічого не варто покрити якусь там сажень. А незграбна тим часом переміститься - нехай на одну десяту сажні, але все-таки вперед, геть від переслідувача! З кожним кроком відстань скорочується. Таких кроків буде, очевидно, незліченна мно-дружність. Не біда: сучасна математика навчилася підсумувати нескінченні послідовності. І Мінто будує нескінченний ряд: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... Перед нами спадна геометрична прогресія. Її суму запросто підрахує будь теперішній школяр, якщо, звичайно, він вже пройшов алгебру за підручником, здається, для восьмого класу; ця сума дорівнює 111 1/9. Проробивши нехитрий підрахунок, Мінто робить висновок: "Софіст хоче довести, що Ахілл ніколи не наздожене черепаху, а на самому ділі доводить лише те, що Ахілл переганяє її між 111-й і 112-й сажнями на їхньому шляху".
Начебто правильно. Начебто логічно. На жаль, радісне опровергатель не відповів за наругу над софисту, бо питання ставилося інакше: не колись, а як можлива подібна зустріч ...
Нехай читач сам розсудить античного мудреця і його опонента. Щоб отримати у відповіді 111 1/9 саж, зовсім не обов'язково вдаватися до підсумовування нескінченної низки. Можна вирішити задачу звичайним алгебраїчним шляхом, прийнявши за невідоме шлях, який проповзе до моменту "рандеву" плазунів красуня, кокетливо тікає від свого самовпевненого переслідувача.
Вже коли у нас з'явилося невідоме, бути йому іксом - х. Тоді шлях, промарширували Ахіллом, виявиться більше дистанції, що розділяла бігунів під час старту, на відрізок, покритий черепахою до зустрічі з Ахіллом: 100 + x. Тепер вислухайте: час руху від старту до зустрічі у обох бігунів одне і те ж. А швидкість у Ахілла в десять разів вище. Значить, шлях, пройдений Ахіллом, буде теж в десять разів більше, ніж черепашачий (х). Складаємо рівняння: (100 + х): х = 10. Підрахуйте: х = 11 1/9. Стільки сажнів проповзла черепаха? А Ахілл? 100 + x = 111 1/9
Важко повірити, щоб Зенон не зміг знайти шуканий відрізок шляху подібними елементарними засобами. Ще важче уявити, що Зенон ніколи нікого не переганяв або не бачив, як це роблять інші. Ні, не дарма античний мислитель формулює завдання так, що в ній з'являється поняття про нескінченному ряді! Його не було мучить сумнів: чи може тіло пройти шлях, складений зі шматочків? Мислитель збентежений іншим: як можливий послідовний синтез безлічі відрізків, якщо він буде тривати вічно, так і не досягнувши межі?
Не досягнувши? А точка, віддалена від старту на 111 1/9 саж, - чи не є це той самий межа? Є. Той самий! Але хіба питання зводився до того, який він? Ні! До того, як змінна (в даному випадку сума ряду) досягає своєї межі. І досягає взагалі? Ми назвали суму змінною величиною. Так воно і є. Згадайте ряд, складений Мінто: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001. Поки він містить шість членів. Їх сума дорівнює 111,111. Це число менше, ніж 111 1/9. Правда, трохи, але все-таки менше! Різниця стане ще менше, якщо ми додавши до послідовності ще один член, сьомий: 100 + 10 + 1 + 0,01 + 0,01 + 0,001 + 0,0001. Сума змінилася, тепер вона дорівнює 111,1111. Сім членів - сім знаків в числі - одиничок, помітили? Якщо членів буде вісім, сума знову подовжиться на одиничку: 111,11111. І так далі. Але візьмете ви сто, тисячу, мільярд мільярдів членів, все одно ваше число з колосальним по довжині хвостом з одиниць буде менше 111 1/9. Сума змінюється, зростає, але не досягає межі. І все-таки ми вміємо підрахувати межа, до якого вона прагне. Робиться це так. Береться формула для суми кінцевого (підкреслюємо: чи не нескінченного!) Кількості членів. Вона легко виводиться - загляньте в шкільний підручник алгебри. Давайте підставимо в неї характеристики нашої геометричній прогресії. Перший член у нас 100. А знаменник прогресії - одна десята (0,1) - адже у нас кожен наступний член менше попереднього в десять разів. Припустимо, ми хочемо підрахувати суму для 777 членів. Отримаємо: 100 / (1-0,1) * [1- (0,1) ^ 777 + 1] Неважко бачити, що число перед квадратними дужками одно 111 1/9. А вміст квадратних дужок? Трохи менше одиниці. І воно буде тим ближче до одиниці, чим більше показник ступеня у дробу 0,1, укладеної в круглі дужки. Але придивіться до показника ступеня - це ж число членів ряду плюс одиничка! А тепер починається найцікавіше. Ми переходимо від кінцевого числа членів до нескінченного. Показник ступеня при (0,1) необмежено зростає. Що ж відбувається з самим ступенем - з однієї десятої, помноженої на себе настільки багаторазово, що і уявити неможливо? Вона стає нескінченно малою величиною, що прагне до нуля. А раз так, то, як написано в вашому підручнику, ми маємо право її просто відкинути, прирівнявши до нуля. У квадратних дужках залишається одиниця. Стало бути, шуканий межа дорівнює 111 1/9. Але послухаємо, що каже з цього приводу математика (устами академіка А. А. Маркова): "Важливо помітити, що до сукупності значень нескінченно малої ми не зараховуємо її межі 0". А французький математик Мансіон виражається ще недвозначно: "Межею змінної ми називаємо постійну величину, до якої змінна невизначено наближається, ніколи її не досягаючи". Але те ж саме говорив і Зенон, втілюючи хіба що абстрактні математичні символи в яскраві образи, навіяні прекрасними античними міфами! Як би далеко ми не йшли в послідовної інтеграції коротшають "двіженьіц" Ахілла, ми ніколи не отримаємо цілком його шляху до зустрічі з черепахою! Як сказано у Гомера ( "Іліада" в перекладі Гнєдича):
"Цей втекти, а інший вловити намагається марно,
Так і герої: не той не наздожене, ні цього не йде ... "
Помічені Зеноном труднощі в строгості тлумачення понять "межа" і "безперервність" можна проілюструвати на більш простому прикладі. Уявіть: у вас в кімнаті по підлозі повзе черепаха. І раптом - Стоп! - Тварина вперлося носом в стінку. Шлях черепахи - змінна величина, що росте до якоїсь межі. Межа - стіна. Вірніше, точка, що обмежує траєкторію черепахи. Але ця точка не належить до нескінченного безлічі точок території! Мало того: у черепашачого шляху взагалі неможливо визначити останню крапку - ту, де знаходиться черепашачий ніс в момент удару, ту, що передує граничної - точці стіни. Тут ми ненароком торкнулися інший апорії Зенона. Якщо перша в історії математики фігурує під назвою "Ахілл", то другий присвоєно ім'я "Дихотомія". Це давньогрецьке слово перекладається так: "нескінченне поділнавпіл". Перш ніж завершити весь шлях, черепаха повинна пройти його половину, говорив Зенон. Але перш ніж вона досягне середини шляху, їй належить дістатися до мітки, що розтинає лагідний цю половину. Однак перш ніж залишити за собою чверть шляху, потрібно пройти його "восьму" ... Уф! Так можна продовжувати до нескінченності. Коротше, Зенон робив висновок: рух ніколи не почнеться!
Геометрично парадокс можна витлумачити так. Ми беремо відрізок і ділимо його навпіл. Ліву половину знову розсікає надвоє. Ліву четвертинку - теж надвоє. Потім ліву восьму, шістнадцяту частку, одну тридцять другу і так далі - без кінця. Чи не нагадує це погоню Ахілла за черепахою або подорож черепахи по кімнатному тупику? Тільки зараз роль стіни виконує черепашачий ніс. Його кінчик - точка спокою. А де починається перша за рахунком точка руху? Адже ми не в силах знайти точку, безпосередньо наступну за кордоном відрізка, - точно так само, як і могли визначити точку, безпосередньо передувала граничної в прикладі з черепахою, натрапивши на перешкоду!
Помилка Зенона, за словами професора С. А. Богомолова, полягає в тому, що з неможливості уявити початок руху древній філософ уклав про неможливість самого руху та достовірного знання про нього. Вона цілком пояснюється рівнем математичних знань його епохи і не зменшує його заслуг. В "Дихотомії" Зенон вказав на труднощі осягнути поняття "континуум" (безперервна послідовність всіх точок лінії) і "рух". Але математики давно вже звикли до того, що розум справляється з питаннями, перед якими безсила інтуїція. І тим не менше ми повинні все-таки визнати, що в "Дихотомії" є певний нерозв'язний залишок. Йдеться про нескінченному ряді, що не має початку. Це все та ж діалектика нескінченності, яка набуває особливої ​​гостроти стосовно послідовності моментів часу.
Наступний наш перевал - "Стріла", третя Апорія. Третя за рахунком, але не за важливістю. Нас чекає парадокс, який має славу, як казав професор А. А. Богомолова, "апофеозом зеноновських діалектики".
"Руху немає, сказав мудрець брадатий ..."
Це Пушкін цитує Зенона. І продовжує:
"... Інший змовчав і став перед ним ходити.
Сильніше б не міг він заперечити.
Хвалили все відповідь мудрий.
Але, панове, кумедний випадок цей
Інший приклад на пам'ять мені призводить:
Адже кожен день перед нами сонце ходить,
Проте ж прав впертий Галілей! "
Пушкіна цитує письменник Данило Данин в своїй книзі "Неминучість дивного світу". І продовжує: "Зенон запитував: - Ось летить стріла, в кожен момент її можна десь застигнути, там вона в цю мить спочиває, звідки ж береться рух? Значить, рух - низка станів спокою? Чи не абсурд це?
Міркування було бездоганно. Але і доказ Діогена, який почав ходити, теж було неспростовно. Чи міг знайтися вихід з цього очевидного протиріччя - рух складається з моментів спокою? Вихід повинен був знайтися і знайшовся.
Для цього математика і механіка повинні були навчитися оперувати з нескінченно малими величинами. Вони повинні були навчитися розглядати стан спокою як нульову межу зникаюче малого переміщення. Це робить диференціальне числення. І повинні були навчитися складати такі нулі, не дивуючись, що нескінченне - додаток нескінченно малих двіженьіц може дати цілком реальний кінцевий відрізок шляху. Це робить обчислення інтегральне. У міркуванні Зенона була помітна логічна похибка. Він розкладав переміщення стріли на безліч станів спокою, а складав їх по арифметичної логіки кінцевих сум: якщо взяти стільки-то нулів, все одно вийде нуль. І тому сказав: "Руху немає". А вся справа в тому, що як не велике арифметичне "скільки-то", воно ще не нескінченність. Діоген тільки мовчки і міг спростувати Зенона - словами у нього нічого б не вийшло, тому що не було тоді потрібних для цього слів ".
Що ж, це, мабуть, вірно, що у Діогена не знайшлося б потрібних слів, щоб заперечити - правда, не самому Зенону, а одному з його послідовників (Зенон помер за сто з гаком років до появи Діогена на світло). Ну, а сьогодні? Що це за магічні слова, якими-де можна парирувати випади Зенона? Очевидно, диференціальне та інтегральне числення, чи не так? Що ж, давайте спробуємо урезонити античного баламута наймогутнішими аргументами математичного аналізу.
Лук дзвенить, стріла тріпоче,
І, клубочучи, здох Пітон ...
І твій лик перемогою блищить,
Бельведерский Аполлон!
Сценка вбивства, намальована Пушкіним, графічно зображується балістичної кривої, а в ідеалі (якщо не враховувати опору повітря) - параболою, по якій переміщається стріла від тятиви до мішені. Координати такі: висота підйому (вертикальна вісь) і час польоту (вісь горизонтальна). Зараз ми займемося дифференцированием. Як підрахувати швидкість? Ясна річ як: списав кілометраж зі спідометра і поділив на час, протягом якого машина пройшла шлях. Вірно. Тільки так ми знайдемо середню швидкість. А вона напевно змінювалася! Спершу автомобіль стояв - швидкість дорівнювала нулю. Потім рушив - швидкість стала наростати, перевищила дозволений рубіж; В цю мить пролунав свисток міліціонера, довелося дати гальмо - швидкість різко пішла на спад, поки машина знову не стала як укопана. Якщо ж порахувати середню швидкість, то з'ясується, що вас і штрафувати-то нема за що! Однак постового не обдуриш. Він, може, і не знає диференціального обчислення, але вже в порушеннях дещо розуміє. Як же все-таки нам визначити точне значення швидкості в будь-який момент часу?
Давайте повернемося до стріли: її швидкість описується більш простим математичним виразом. Тільки тут все навпаки: в момент старту з тятиви швидкість стріли (мова йде про швидкість її підйому) максимальна. У найвищій точці траси вона дорівнює нулю. У момент вбивства Пифона знову досягає максимального значення. У будь-який момент вона інша, ніж раніше. Проте ми можемо вловити закономірність, з якою вона змінюється від точки до точки.
Уявіть, що політ стріли, пущеної променистим богом в огидне чудовисько, відзнятий на кіноплівку. І ми зупини-ли демонстрацію фільму десь посередині, вихопивши будь-який кадр. До цього моменту стріла (краще говорити про одну з її точок, скажімо, центр ваги) піднялася на певну висоту. Включимо механізм протягування стрічки знову, але рівно настільки, щоб перед нашими очима застиг наступний кадр. Центр тяжкості продовживши свою трасу на крихітний шматочок, виявиться в новій точці де висота підйому збільшилася. Позначимо це збільшення висоти так "дельта ес". А заодно символом "дельта те" позначимо часовий інтервал між сусідніми, кадрами. Тоді середня швидкість підйому на цьому діляночці шляху виразиться нехитрої дробом дельта s / дельта t. Звернули увагу - швидкість-то у нас знову середня! Так, але чим менше "дельта те", тим ближче значення нашої дроби до істинної швидкості в першій точці. Якби затвор кіноапарата при зйомці клацав б в тисячу разів частіше то проміжок часу між двома сусідніми кадрами скоротився б теж рівно в тисячу разів. Значення "моментальної" швидкості стало б точніше. І все ж до тих пір, поки наша доль-ка тимчасової осі буде кінцевою (не безкінечне малої) величиною, ставлення "дельта ес" до "дельта те" дає лише середню швидкість між двома моментами. А що, якщо зробити "дельта те" нескінченно малим? Іншими словами, представивши другу точку траси рухомий, тіснити і тіснити її до жорстко сидить першій точці? Тоді "дельта те" кинеться до нуля. "Дельта ес" теж. А їхнє ставлення? Воно стане все точніше і точніше передавати значення швидкості стріли в момент часу, відображений на першому кадрі. Але лише в межі вона виявиться миттєвою швидкістю в той самий момент. Ця межа відносини при дельта t, яка прагне до нуля, зображується двоповерховим знаком "де ес по де те" і називається похідною функцією (в нашому випадку похідною від шляху за часом). (Ds і dt називаються диференціалами (від латинського слова "різниця").
Приведенное построение можно повторить применительно к любой точке нашей кривой. Впрочем, не обязательно только нашей, а вообще любой кривой. Конечно, вид производной будет неодинаковым для разных кривых, не говоря уже о том, что ее значение меняется от точки к точке у каждой кривой. Но теперь мы знаем закон поведения производной: она меняется так же, как и угол наклона касательной к кривой в данной точке. И геометрический смысл произведений - тангенс этого угла. Ведь что такое наши "дельта эс" и "дельта тэ", как не катеты прямоугольного треугольника! Треугольник построен на гипотенузе с теми самыми краевыми точками, которые отмечали положение центра тяжести стрелы на обоих кадрах. Когда же мы начали сдвигать эти соседние точки, гипотенуза слилась с касательной.
Так вот: отыскав производную, мы продифференцировали функцию - в нашем случае уравнение параболы. Зная производную, мы можем найти и первоначальную (первообразную) функцию, то есть проделать обратную операцию - интегрирование. Приемы дифференцирования и интегрирования едва ли сложнее алгебраических правил. Но нас сейчас волнует не это. Какой смысл таится в дроби ds/dt? Здесь и числитель и знаменатель вроде бы... нули! Но ведь отношение нулей - абсурд!
Чтобы разобраться в парадоксе, придется снова совершить экскурс в прошлое и ответить на вопрос: а сумел ли Ньютон отразить "стрелу", пущенную Зеноном? Не постигла ли его детище - анализ бесконечно малых - злая участь Пифона, убиенного Аполлоном Бельведерским?
...24 августа 1624 года в Париже должен был состояться публичный диспут. Но перед самым открытием дискуссии один из ее устроителей, де Клав, был арестован. Другому, Виллону, пришлось скрыться. Специально изданный парламентский указ гласил: запретить полемику; в торжественной обстановке перед лицом собравшихся разорвать в клочья заранее объявленные тезисы; всех организаторов выслать в 24 часа за пределы города, лишив их права вообще въезжать в столичный округ; строго-настрого запретить профессорам любое упоминание крамольных тезисов в лекциях.
Всяк, кто устно или печатно нарушит сей рескрипт, подлежит смертной казни... Четырнадцатый тезис разорванной программы диспута провозглашал атомистическую доктрину. В нем черным по белому значилось, что Аристотель, то ли по невежеству, то ли по злому умыслу, высмеял учение, согласно которому мир состоит из атомов. Между тем-де это мировоззрение как нельзя лучше соответствует разумным основам подлинной натурфилософии...
Но при чем тут Зенон? Речь-то шла об идеях Демокрита!
Атомистика Демокрита была реакцией на выпады элейской школы, во главе которой стоял Зенон. Интересно и важно: Демокрит был апостолом атомизма не только в физике, но и в математике. Причем обосновывал необходимость атомистического миросозерцания ссылкой не на физические явления, отнюдь, а на чисто математические затруднения, возникающие в том случае, если считать пространство непрерывным. В дозеноновском естествознании все тела считались беспредельно делимыми. Это с одной стороны. А с другой - допускалось, что каждый предмет состоит из бесчисленного множества непротяженных и далее неделимых "телец". На эти-то противоречивые принципы и обрушился Зенон.
Если тело делимо беспредельно, говорил он, то оно должно быть бесконечно большим. Как бы далеко ни заходило дробление, всякий раз будут получаться протяженные частицы, размеры коих никогда не обратятся в нуль. Поскольку же деление бесконечно, постольку и геометрических "атомов" будет бесчисленное множество! А если так, то сумма бесконечно большого количества протяженных и далее неделимых элементов окажется неизмеримо огромной. Если же, наоборот, точка как предел деления не имеет размеров, то сложение любого, сколь угодно большого количества таких "нулей" никогда не даст протяженного тела!
Логическая диверсия Зенона произвела ошеломляющее впечатление. Ученые всполошились; всем стало ясно, что теоретические основы геометрии продуманы недостаточно глубоко, внутренне противоречивы и несостоятельны.
Вот тогда-то, среди обломков, оставшихся после разрушительной деятельности элеатов, школа Демокрита и принялась восстанавливать теоретически фундамент геометрии. Приклеив единомышленникам Зенопа ярлык "афизиков" ("лжеученых"), она попросту отмахнулась от их дьявольских искушений. Предел делимости материи и пространства был провозглашен сызнова. Так в ответ на сугубо негативную элейскую критику появилась позитивная платформа, на которой можно было - худо ли, бедно ли - дальше возводить храм математики и механики. Но тут Аристотель взял и торпедировал эту конструктивную платформу! Что ж, он был по-своему прав: ведь противоречия, подмеченные Зеноном, делали позиции Демокрита очень и очень шаткими...
Более Полутора десятков столетий довлели над наукой аристотелевские идеи.
Лишь в эпоху позднего Возрождения ученые возвысили свой голос против схоластических догм. Даже невзирая на то, что, посулив особо рьяным критиканам смертную казнь, французский парламент тем самым приравнял авторитет Платона и его ученика Аристотеля к авторитету евангелия... Идея непрерывности, противоречившая повседневной интуиции, была отринута мыслителями эпохи Возрождения. В своих "Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых отраслей науки", Галилей рассуждает о бесконечно малых промежутках между отдельными бесконечно малыми участками прямой. Из письма Кавальери к Галилею явствует, что оба они, как, впрочем, и Кеплер, контрабандой вынашивали идею "неделимого". А взгляды Кеплера и Кавальери, предтеч Ньютона в создании новой математики, - чистейшей воды геометрический атомизм!
"Непосредственная и непрерывающаяся связь между математическим атомизмом древности и нынешним дифференциальным и интегральным исчислением не подлежит сомнению, - говорит профессор С. Я. Лурье в книге "Теория бесконечно малых у древних атомистов". - Историю метода бесконечно малых следует начинать не с Кавальери, а с Демокрита".
Итак, исчисление бесконечно малых было построено на атомистическом фундаменте. Но тогда, выходит, парадоксы Зенона остались непреодоленными? Вспомните наше недоумение с дифференциалами: что это - нули или не нули? Какой смысл таится в дроби, где и числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю? Этот вопрос глубоко волновал другого создателя анализа - Лейбница, немецкого коллегу Ньютона. Обозначение ds/dt, введенное Лейбницем, рассматривалось как отношение бесконечно малых величин - дифференциалов (ds и dt. Эта символика до сих пор смущает любого из нас, когда мы принимаемся штудировать дифференциальное исчисление. Из выражения: предел дельта s/дельта t = ds/dt, стремящемся к нулю, - невольно напрашивается вывод, будто "дельта тэ" стремится сразу к двум пределам: к dt, отнюдь не равному нулю, и в то же время к нулю, а "дельта эс" к ds и к нулю! А все потому, что перед нами "ископаемые останки" атомистической эпохи в математике. Стоит допустить, что кривая составлена из мельчайших "атомов", как пределом для приращения "дельта эс" или "дельта тэ" будет уже не Нуль, то есть ничто, а высота или ширина этой неделимой геометрической крупицы: ds или соответственно dt. Теперь, с позиций Лейбница, безо всяких ухищрений легко поддается уразумению и равенство: предел дельтаS/дельтаt=dS/dt. Ибо при атомистичесском подходе предел дельта s равен ds, а предел дельтаt равен dt. Вот именно: при атомистическом. При том самом, который в пух и прах был разнесен еще Зеноном. При том самом, от которого давным-давно уже ушла матемачика. Ну, а сегодня, когда математика вновь стоит на позициях непрерывности, тоже кстати зело подорванных Зеноном? Дают ли о себе знать коварные аргументы элеатов?
Откройте прекрасную книгу Р. Куранта и Г. Роббинса "Что такое математика". Там сказано: дифференциалы как бесконечно малые величины из математического обихода изгнаны окончательно и не без позора. И все же сам термин "дифференциал" прокрался обратно через черный ход. Он как ни в чем не бывало по-прежнему фигурирует в обозначениях, сохранившихся до сего времени и сбивающих с толку ds/dt.
Правда, сегодня в dt математики видят небесконечно малую величину, а конечное приращение "дельта тэ". Что же касается ds/dt, то эта "дробь" в целом стала просто символом результата, который получается при переходе к пределу: действительно, прежде чем переходить к пределу, можно избавиться от будущего "нуля" в знаменателе. Для этого числитель дроби ds/dt раскрывают; ведь за этим символом стоит обычная алгебраическая разность. Разность между двумя выражениями одного и того же математического закона, но для двух разных точек кривой. В формула разности появляется сомножитель "дельта тэ". Тот же самый, что стоит в знаменателе! А раз так, то и числитель и знаменатель можно сократить на "дельта тэ". Ведь это не возбраняется до тех пор, пока "дельта тэ" не равно нулю. Так "дельта тэ" исчезает из знаменателя. Правда, в формуле для числителя после сокращения остается еще одно "дельта тэ". Но потом, когда мы переходим к пределу, это второе "дельта тэ" обращается в нуль. Так - сложно ли, просто ли - но для каждой функции удается ловким маневром миновать нелепость: ds/dt=0/0. Конечно, Ньютон и Лейбниц тоже умели находить интегралы и производные такими способами. Но они не признавали за предельной процедурой исключительного права служить опорой новых методов. Они рассуждали примерно так: да, интеграл и производную можно вычислить как пределы. Но чем же, черт побери, являются эти понятия сами по себе?
Вот, к примеру, наклон кривой. Он существует сам по себе, независимо от хитроумного геометрического построения, сопровождавшегося предельным переходом. То же самое можно сказать и об интеграле, который истолковывается как площадь плоской фигуры, ограниченной осями координат и нашей кривой: мол, такое понятие, как площадь, имеет некий абсолютный "смысл в себе", и вроде бы нет надобности привлекать вспомогательные операции с пределами.
Иначе рассуждают современные математики.
"Ни Ньютон, ни Лейбниц, - говорится в книге Р. Куранта и Г. Роббинса, - не смогли занять ту отчетливую позицию, которая нам кажется простой и естественной теперь, когда понятие предела полностью выяснено. Их пример господствовал больше столетия, в течение которого сущность дела была затемнена бесплодными рассуждениями о "бесконечно малых величинах", о "дифференциалах" и т. д. Считалось, что такие понятия доступны лишь немногим избранным, обладающим настоящим математическим чутьем, и что анализ поэтому, по существу, очень труден, так как не всякий обладает этим чутьем или может его развить. Интеграл, аналогичным образом, рассматривался как сумма "бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых". Существовало представление, будто такая сумма есть интеграл, или площадь, в то время как вычисление ее значения как предела последовательности конечных сумм обыкновенных слагаемых рассматривалось как некий придаток. Теперь мы попросту отбрасываем желание "непосредственно" объяснить интеграл и определяем его как предел последовательности конечных сумм. Этим путем все трудности и устраняются, и все, что ценно в анализе, приобретает твердую основу".
Твердую основу? Но прежде чем ответить, давайте подведем итог: ни Ньютон, ни Лейбниц не парировали выпадов Зенона. Они просто отмахнулись от них. Не поступи они именно так, быть мо-жет, еще больше отсрочилось бы открытие дифференциального и интегрального исчисления, этого мощнейшего инструмента расчетов в современной науке и технике. Так или иначе, сколь бы ни были велики заслуги творцов математического анализа, противоречия, подмеченные Зеноном, остались неразрешенными. Ньютон и Лейбниц считали точки наименьшими из существующих, но все же протяженными "тельцами". Разлагая кривую на бесконечно большое коли-чество бесконечно малых частей, они приходили к пределу, который считали отношением высоты к ширине геометрического "атома" - точки.
Сегодня атомистические представления отвергнуты математикой. И хотя приведенное геометрическое истолкование широко практикуется в преподавании, уже почти никто не объясняет ds/dt по Лейбницу - как отношение бесконечно умаляющихся "дельта эс" и "дельта тэ". Ибо можно обойтись вообще без геометрических построений. Можно просто исключить "дельта тэ" из знаменателя путем чисто формальной процедуры. "Чисто формальной" - значит не прибегающей к интуитивным представлениям. В нашем случае к зримым моделям - чертежам. Надо сказать, что все графические построения геометрии опираются именно на интуицию, на чувственный опыт. В том числе и наша картинка с трассой стрелы, с треугольничком, с тангенсом угла наклона касательной, с Аполлоном, Пифоном и прочими образами "живописного искусства" геометрии. (Куда завело Лейбница чрезмерное доверие к подобным геометрическим аналогиям, мы уже знаем). Но в том-то и дело, что математический анализ вовсе не обязан исходить из графических построений! Оперируя собственным набором правил и символов, он в состоянии формулировать свой выводы совершенно независимо от геометрии, хотя, впрочем, многие утверждают, что без интуитивных представлений математике все равно не обойтись. Как бы там ни было, графики играют лишь вспомогательную роль: они наглядно истолковывают сложные понятия, а это всегда облегчает восприятие. К сожалению, не все понятия доступны нашей интуиции. Формально описывать их мы можем, а вот зримо вообразить себе - увы... Так ведь это-то противоречие и подметил Зенон! Конечно, представить себе Диогена, дефилирующего перед носом искусителя, - дело пустячное. Можно даже нарисовать траекторию этой самоуверенной демонстрации здравого смысла - скорей всего она будет прямолинейной, Увы, чересчур прямолинейной. Ибо нарисовать и обсчитать ее по всем правилам формальных процедур мало. Элеаты ждали ответа на вопрос: как из неуловимых моментов покоя складывается движение?.. А из непротяженных точек протяженный отрезок - трасса той же стрелы? Дискретно или непрерывно пространство? Как представить себе структуру подобных совокупностей точек?
Правда, нельзя отказать опровергателю Зенона в остроумии. Но и в наивности тоже: неужто он всерьез полагал, будто молчали-вая апелляция к житейскому опыту обезоружит элейских "нигилистов"? Она еще в древности считалась неубедительной: дело-то шло о математической сущности движения, а не о его физической видимости. Впрочем, только ли в древности?
"Движение есть сущность времени и пространства, - говорил Ленин. - Два основных понятия выражают эту сущность: (бесконечная) непрерывность и "пунктуальность" (= отрицание непрерывности, прерывность). Движение есть единство непрерывности (времени и пространства) и прерывности (времени и пространства). Движение есть противоречие, есть единство противоречий".
"Еще со времен Зенона и его парадоксов, - продолжают Р. Курант и Г. Роббинс, - все попытки дать точную, математическую формулировку интуитивному физическому или метафизическому понятию непрерывного движения были безуспешными. Нет затруднений в продвижении шаг за шагом по дискретной последовательности значений а1, a2, a3... Но когда приходится иметь дело с непрерывной переменной х, пробегающей целый интервал значе-ний на числовой оси, то описание того, как х "приближается" к заданному значению X, затруднено тем, что принимаемые значения из интервала не могут быть указаны последовательно в порядке их возрастания. В самом деле, точки прямой представляют везде плотное множество, и не существует точки, "следующей" за данной. Остается неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать ее основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие".
Парадоксально, но факт налицо: понятие "дифференциал" и тесно связанное с ним понятие "интеграл", взращенные на атомистической почве, противоречат всему строю нынешней математики, пронизанной идеей непрерывности! Як же бути? Вот прогноз профессора Лурье: "Несомненно, что в будущем математика, если она будет построена на принципе непрерывного, либо откажется от этой почтенной реликвии и научится обходиться исключительно лишь ясными и отчетливыми понятиями производной, первообразной функции и предела суммы (эту попытку сделал еще Лагранж), либо лучше приспособит отжившие понятия "дифференциал" и "интеграл" к современным математическим взглядам, покончив с последними следами атомистических "представлений".
Хотелось бы обратить внимание читателя на одну лишь мысль этого интереснейшего пророчества: вместо бяки интеграла, этой "почтенной реликвии атомистической эпохи", предлагается обойтись понятием предела суммы. Но так ли уж оно отчетливо и ясно? И не Зенон ли первый подметил внутреннее противоречие, присущее этому понятию?
"В последнее время, - утверждает профессор С. А. Богомолов в книге "Актуальная бесконечность", - уточняя понятия анализа, мы удалились от Ньютона. Логическое совершенствование способа пределов вновь привело к торжеству Зеноновых апорий, разве что слова "Ахилл не догонит черепаху" на современный язык перевели бы так: переменная не достигает своего предела". И далее: "Знаменитые апории Зенона Элейского более 2000 лет привлекают к себе внимание ученых и философов; все снова и снова стараются их опровергнуть... Пройти мимо апорий Зенона, объявив их пустыми софизмами, было бы совершенно неправильно, здесь элейская школа с необыкновенной силой и глубиной критиковала возможность движения, а ведь понятие движения лежит в основе всей нашей техники...
Созданный Ньютоном современный анализ оказался могучим средством и для теоретических и для практических приложений. Между тем аргументы Зенона против основных понятий математики и механики, несмотря на многочисленные попытки их опровергнуть, оставались неопровергнутыми.
Во второй половине XIX столетия, вообще подвергшего основы математики тщательному пересмотру, появились работы немецкого ученого Георга Кантора. Учение Кантора пролило новый свет на апории Зенона и объяснило в них то, что вообще поддается объяснению. Но было бы поспешным утверждать, что оно опровергло их до конца..." Теория множеств Кантора действительно заставила по-новому взглянуть на каверзные апории Зенона. Она выявила качественное различие между бесконечностями. В чем же оно, это различие? Нанесите на листок миллиметровки две точки. Дистанция между ними, очевидно, конечна. Тем не менее ограниченный ими отрезок прямой вмещает в себе бесконечность. И даже не одну.
Поставьте посередине между двумя точками третью. Точно так же поделите надвое каждую из половинок, затем четвертушек, осьмушек и т. д. Все плотнее и плотнее будут ложиться точки. Но вам так и не удастся превратить ваше многоточие в сплошную линию, даже если бы вы каким-то чудом обрели вдруг бессмертие. "татуирование" бумаги будет длиться вечно. Ибо ни одна из ваших точек-середин не станет последней. Всегда можно сделать следующий шаг - поделить пополам только что полученные отрезочки, сколь бы малы они ни были. Однако предположим, что все бесчисленное множество наших точек-середин уже имеется "в наличии", так что нам не нужно получать его бесконечным рядом шагов. Получилась вроде бы сплошная линия, без пустых промежутков между точками. Тем не менее мы можем продолжить "иглоукалывание", но уже иным способом: будем делить первоначальный отрезок не пополам, а на три части, затем на девять частей, двадцать семь и так далее. Мы получим новое бесконечное множество, причем для любой точки этого нового множества найдется место на отрезке, не занятое точками прежнего множества. Такой же результат получится и при делении отрезка на 5 частей, 25, 125 и так далее; на 7, 49 и т. д. Коротенький отрезочек, а способен вместить сколько угодно таких бесконечных множеств! Пусть теперь нам удалось "вытатуировать" на миллиметровке линию, составленную из всех без исключения рациональных точек. Оно будет, как скажет математик, "всюду плотным". Иначе говоря, на нашем отрезке не найдется такого места, где бы мы не встретили какую-нибудь из точек нашего множества. И тем не менее рациональные точки не покрывают всего отрезка целиком! Не верите? Давайте построим такой квадрат, чтобы его диагональю служил наш отрезок, ограниченный двумя делениями миллиметровки. Возьмем сторону квадрата и уложим ее на диагональ, совместив левые концы отрезков. Тогда правый конец стороны квадрата опять-таки придется аккурат на "вакантное" место! Перед нами иррациональная точка. И таких точек на нашу диагональ можно "перенести" со стороны квадрата сколько угодно. Например, середина стороны квадрата, середины обеих половинок, затем четырех четвертушек и так далее - все это иррациональные точки. Совершенно очевидно, что полученное таким путем множество будет бесконечно большим. Точки, полученные делением стороны квадрата на три, на девять, двадцать семь долек и так далее, тоже окажутся иррациональными и тоже дадут бесконечное множество. Аналогичная процедура осуществима и с остатком диагонали, не прикрытым стороной квадрата. И для любой точки каждого из этих новых бесконечных множеств найдется свое место на отрезке. Место, не занятое рациональными точками! Это выглядит потрясающе: ведь множество рациональных точек всюду плотно - и вдруг содержит "пустоты", уготованные для иррациональных точек! Неспроста, знать, открытие иррациональных точек, сделанное в глубокой древности, привело в замешательство античных геометров.. И опять-таки никакая интуиция не поможет нам отличить соседние точки - рациональную и иррациональную - или установить порядок их чередования. Абстрактно мыслить, формально описывать подобное геометрическое сообщество (континуум) мы можем, но представить в зримых образах... Математики уверяют, что это вообще недоступно нашей интуиции. А ведь мы каждый день видим континуум! Перекладинка типографской литеры на этой странице, траектория зеноновской стрелы, маршрут Диогена - словом, любой конечный отрезок или бесконечная линия - все это континуумы, непрерывные последовательности всех рациональных и иррациональных точек, взятых в их неразрывной совокупности. И одно из кардинальнейших свойств континуума - его несчетность. Это замечательное открытие принадлежит Кантору. На первый взгляд, тут и открывать-то нечего: раз множество бесконечно, то ясно, что его элементы (числа, точки) не перечтешь. Ан нет, оказывается, есть и счетные множества, даром что бесконечные. Понятно, определение "счетный" здесь до некоторой степени условно. Начав пересчитывать элементы бесконечного множества, мы заранее обрекаем себя на неудачу - эта процедура никогда не закончится. Пересчитать по элементам в буквальном смысле можно лишь конечное множество (по крайней мере в принципе). Но что такое "пересчитать"? Это значит сопоставить элементы какого-то множества числам натурального ряда: 1, 2, 3, 4, 5, 6... Именно так поступает педантичный гардеробщик, выдавая по порядку номерки взамен верхней одежды, снимаемой посетителями. При этом устанавливается взаимно однозначное соответствие между номерами жетонов и шляпами (или плащами, галошами, портфелями и так далее). Правда, последовательный пересчет не всегда удобен - даже в случае конечных множеств, "Пойдем, например, на танцплощадку, - иллюстрирует эту мысль доктор физико-математических наук Н. Я. Виленкин в своей брошюре "Рассказы о множествах". - Как узнать, поровну ли здесь юношей и девушек? Конечно, можно попросить юношей отойти в одну сторону, а девушек в другую и заняться подсчетом как тех, так и других. Но нас не интересует, сколько здесь юношей и девушек, а интересует лишь, поровну ли их. Попросим оркестр сыграть какой-нибудь танец. Тогда юноши пригласят девушек, и наша задача будет решена. Ведь если вся молодежь разбилась на танцующие пары, то ясно, что на площадке ровно столько же юношей, сколько и девушек".
Кантор решил таким же способом сравнить и бесконечные множества. Для этого вовсе не обязательно пересчитывать их по элементам. Достаточно установить взаимно однозначное соответствие между элементами обеих множеств. Так вот, все бесконечные множества, элементам которых можно сопоставить числа натурального ряда, называются счетными. Например, множество всех рациональных чисел (целых и дробных). Теперь естественно ожидать, будто все без исключения бесконечные множества счетны. Ні! Кантор с удивлением открыл и убедительно доказал, что множество всех действительных чисел или точек (рациональных и иррациональных, вместе взятых) неисчислимо. Оно несравнение богаче элементами (обладает большей мощностью), нежели множество одних рациональных точек. Доказать, что множество счетно, значит придумать правило, по которому нумеруются его элементы. Убедиться же в несчетности того или иного множества - это значит, доказать, что такого правила нет и не может быть вообще. Кантор рассуждал так. Допустим, нам удалось найти способ, как перенумеровать все действительные числа, выписав их в виде последовательности. Если теперь найдется хотя бы одно число, не входящее в эту последовательность, значит гипотеза о возможности перенумеровать все действительные числа несостоятельна. И Кантор продемонстрировал такое число! Да не одно, а бесчисленное их множество. И какое бы правило нумерации мы ни придумали, всегда найдется незанумерованный элемент этого множества. Вот какой смысл вкладывается в слова "множество всех точек континуума неисчислимо", Вот и получается, что у геометрического целого (линии) может появиться совершенно новое качество, отсутствовавшее у его частей - непротяженных, не имеющих размеров точек, когда мощность множества переходит определенный количественный Рубикон. Вспомните линию, составленную из одних рациональных точек! Это множество всюду плотно. Если мы прибегаем к чертежу, то нам и впрямь придется рисовать сплошную линию - иначе не изобразишь множество всех рациональных точек. Но нет, эта линия разрывна. И разрывна в каждой точке! Лишь континуум обладает непрерывностью,. сплошностью. Этого, разумеется, не дано было знать Зенону, для которого все точки-нули, равно как и все бесконечности, выглядели "на одно лицо".
И все же, даже разобравшись в этих премудростях, математики XX века не смогли окончательно отделаться от кошмара зеноновских противоречий, Канторова теория множеств, которая, как считалось, обезвредила апории Зенона, сама оказалась подорванной изнутри таившимися в ней противоречиями.

У англійського письменника Лоуренса Стерна є роман "Життя і думки Тристрама Шенді, джентльмена". Це вельми своєрідний роман. Оповідання ведеться від першої особи, причому герою знадобилося цілих двісті п'ятдесят сторінок, щоб описати свою появу на світ. Лише в третій книзі мати Шенді дозволяється від тягаря Тристрамом, джентльменом, а в шостий маленький джентльмен вперше удостоюється честі бути одягненим в штани.
Про дивну літературного персонажа згадує не хто інший, як Бертран Рассел. Припустимо, говорить англійський вчений, який-небудь новоявлений Трістрам Шенді буде витрачати на поточний рік на опис кожного дня свого життя. Чи зуміє він накропать мемуари? Чи не зуміє, це ясно: людина смертей. А якби Трістрам Шенді став раптом безсмертним? Що тоді? Тоді кожен день знайде своє відображення в його незвичайної літописі. Інша справа - дивне життєпис ніколи не закінчиться. Але кожному дню знайдеться відповідний рік, причому кількість днів і кількість років в їх нескінченній низці рівні, вірніше, рівнопотужні. Це нескінченності одного класу. Точно так же послідовність всіх парних чисел рівнопотужності натуральному ряду, що включає і парні і непарні числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6 і так далі. А натуральний ряд равномощен безлічі всіх раціональних чисел. Як видно, правило "ціле не дорівнює своєї частини" втрачає силу в дивному світі нескінченного. А ось і інший висновок, ще дужче насміхається над неміччю людської інтуїції. Ми вже з'ясували: континуум (сукупність всіх без винятку точок відрізка) володіє набагато більшою потужністю, ніж рідко стоять на числової осі мітки натурального ряду або навіть безліч всіх раціональних точок, щільне всюди. Проте абсолютно несподіваним і воістину приголомшливим виглядає такою Кантор підсумок: один чи ангстрем, один чи світловий рік містять однакову "кількість" (мова йде про нескінченну безліч) точок. Годі збагнути, але нескінченна пряма вміщає не більше точок, ніж кінцевий відрізок! І ще один сюрприз: тривимірна фігура (скажімо, куб) не багатше точками, ніж двовимірна (квадрат), а двовимірна поверхня - чим просто лінія. Цілих три роки (з 1871 по 1874) Кантор намагався довести, що взаємно однозначна відповідність між точками відрізка і точками квадрата неможливо. Болісні пошуки довго залишалися безуспішними. І раптом абсолютно несподівано для себе вчений прийшов до абсолютно протилежного результату! Він зробив те саме побудова, яке вважав неможливим. Вражений своїм відкриттям, він написав математику Дедекіндом: "Я бачу це, але не вірю цьому". А незабаром переконався, що не тільки квадрат, але і куб равномощен лінії ...
Цього не знав Зенон. Ньютон теж. Але це з усією непохитністю довів Георг Кантор - людина, вперше зважилася обійняти неосяжне, порахувати незліченну, виміряти незмірну. Він проник з числом і мірою в таємничий і дивний світ, над входом в який красується Кабалістичний символ нескінченності. І який здавна вселяв в душі людські містичний хоррор інфйніті - жах перед нескінченним. Беспрецедетное арифметичне беззаконня потрясло математиків. Але це було ще тільки початком. Теорія множин Кантора виявилася загрозливою куди більш серйозними парадоксами.
На рубежі XIX і XX століть з'ясувалося, що логічні міркування, якими оперував Кантор, ведуть до нерозв'язних протиріч. Перший нокаут канторовской побудови отримали від італійського вченого Буран-Форті, який сформулював парадокс найбільшого порядкового числа. Однак справжньою сенсацією виявилася знаменита антиномія Рассела, опублікована в 1903 році і отримала широку популярність під назвою "парадокса цирульника".
Солдату наказали стати полковим цирюльником. Наказ суворо наказував голити тих і тільки тих, хто не голиться сам. За невиконання - смертна кара. Солдат справно ніс нехитру службу перукаря рівно один день. На наступний ранок, провівши долонею по підборіддю, він взявся за лезо і пензлик, щоб надати своїм щоках колишньої глянець, але ... вчасно схаменувся. Почни він шкребти власну щетину, бути йому в числі тих, хто голиться сам. І тоді він відповідно до грізним розпорядженням начальства не повинен себе голити. Якщо ж він відмовиться себе голити, то стане одним з тих, хто сам не голиться і кого саме онто і зобов'язаний голити! Як же бути бідоласі цирульник ?!
Зрозуміло, перед нами жартівливе іносказання НастяЛ парадоксу. Насправді формулювання його більш сувора. Існують безлічі, які можуть містити самі себе в якості елемента. Назвемо їх незвичайними. Вчитайтеся, наприклад, в таке визначення: "Безліч А включає в себе всі множини, які можна визначити пропозицією, що містить менше двадцяти слів". Тільки що наведена фраза містить всього 15 слів. Значить, саме безліч А теж є елементом множини А! Зрозуміло, перед нами курйозне виняток. Більшість сукупностей звичайні - не містять себе в якості елемента. Давайте поки обмежимося тільки такими пай-множинами, які начебто не обіцяють ніякого підступу. І розглянемо безліч всіх звичайних множин. Позначимо його буквою М. Пропонується відповісти: саме М - звичайне або незвичайне? Безперечно, воно повинно бути або тим, або іншим - третього не дано. Припустимо, що М - звичайне безліч. Тоді воно повинно містити себе в якості елемента: адже М, за визначенням, безліч всіх до єдиного звичайних множин) Але якщо воно включає саму себе, значить, перед нами незвичайне безліч! Гаразд, нехай буде так. Стоп ... Що ж вийшло: незвичайне М входить в безліч всіх звичайних множин? Але ж ми ж домовилися взагалі не мати справи з незвичайними множинами! М, за визначенням, не має права входити в безліч всіх і одних тільки звичайних множин! А вже якщо воно потрапило туди, нехай зволить стати звичайним. Залишається одне: оголосити безліч М звичайним і ... почати заново "казку про білого бичка". Як видно, на відміну від свого севільського колеги з безсмертної трилогії "Бомарше" Фігаро лорда Рассела зайнявся інтригами на більш високому рівні - в області логіки і математики. Парадокси теорії множин змусили математику ревізувати свої логічні підвалини.
Як відомо, ахіллесовою п'ятою канторовской теорії множин був її неконструктивний характер. Кантору ставили в докір, що він вдавався до доказу від супротивного. Він обгрунтовував істинність фундаментальнейших висновків своєї теорії не прямо, а опосередковано - демонструючи абсурдність протилежного твердження. До пори до часу це здавалося переконливим. Справді, якщо одне з двох взаємовиключних пропозицій помилково, то інше обов'язково повинно бути істинним. Принаймні так говорив закон виключеного третього. Прийом редукцно пекло абсурдум (приведення до безглуздості) широко практикувався в математиці з часів Евкліда. Але ж у Рассела в його парадоксі з цирульником та ж логічна процедура, перевірена тисячоліттями, дала осічку! Так чому ж, питається, вона не могла підвести і Кантора? Невже і справді ... "рухи немає"? У всякому разі, в логіці опровергателей Зенона, апелювали до побудов Кантора ...
Але, можливо, протиріччя були породжені надто вільним трактуванням поняття "безліч"? А якщо більш строго сформулювати вимоги до змісту кожного терміна, до кожної логічної процедурі? І навіть спробувати, якщо вдасться, побудувати "конструктивну" логіку, де не буде закону виключеного третього і доказів від противного?
Саме таке завдання поставили перед собою математики XX століття. А австрійський математик Курт Гедель мав намір побудувати вичерпну і несуперечливу теорію чисел (вона має відношення і до парадоксів Зенона. Адже будь-яке число можна зобразити точкою на відрізку і навпаки - будь-якій точці зіставити число). Ви думаєте, йому це вдалося? Як би не так! Навпаки, в 1931 році він довів теорему: в будь-який досить повної логічної системі можна сформулювати пропозицію, яке неможливо ні довести, ні спростувати логічними засобами цієї системи! А несуперечливість будь-якої системи можна довести засобами цієї системи ...
Теорема Геделя лягла в основу цілого напряму в математиці і логіці. Сама математична теорія, несуперечливість якої намагаються обгрунтувати, стала предметом вивчення особливої ​​"надматематіческой" науки, названої метаматематиці, або теорією доказів. Яка природа істини? На яких посилках грунтується сам фундамент математики? Який сенс мають математичні пропозиції: аксіоми, леми, теореми? Яку логічну структуру повинні мати докази? Так спроби вирішити парадокси зіткнулися з більш широкою проблемою обгрунтування математики і логіки.
Загляньте в книгу С. К. Кліні "Введення в метаматематику". Спочатку вона напевно відлякає вас запаморочливою абракадаброю символів, а потім ... Потім, дивись, і притягне - скоріше за все дивним лаконізмом, елегантною строгістю, а якщо розібратися, то і простотою своєрідного мови знаків. Мови, яким описуються самі мудрі висновки. У тому числі і комічні логічні нісенітниці на кшталт тієї, що виникла в епізоді з "сеньйором губернатором" Санчо Пансою. Дивне, парадоксальне поєднання, чи не так? Повнокровна проза Сервантеса і анемічні ієрогліфи математичної "стенографії" - адже це на перший погляд дві речі настільки ж несумісні, як геній і лиходійство! Ну як втиснути живу людську мову, та не просто мова, а міркування, в прокрустове ложе математичних формул? "
"Коли я, будучи хлопчиком, знайомився з пропозиціями звичайної логіки і мені ще була незнайома математика, у мене виникла, не знаю, за яким натхненням, думка про те, що можна винайти такий аналіз понять, за допомогою якого істини можна буде комбінувати і вираховувати як числа ". Так на заході життя ділився своїми нездійсненими мріями блискучий дипломат і геніальний математик Готфрід Вільгельм Лейбніц. Він, як ніхто інший, гостро відчував вади класичної логіки. Зведена в систему ще Аристотелем, вона з тих пір протягом двадцяти століть залишалася незмінною. Але означало це, що її не можна вдосконалити?
Великий німецький реформатор вважав, що наші знання можна розкласти на прості елементи. Окреслені особливими символами,, вони складуть алфавіт людських думок. Питається, навіщо? "Суперечки не прийдуть до кінця, якщо не відмовитися від словесних міркуванні на користь простого обчислення, - пояснював Лейбніц, - якщо не замінити слова неясного і невизначеного сенсу однозначними символами. Після введення оних двом філософам, буде виникне між ними суперечка, вже не треба намагатися перекричати один одного. сперечальників не буде потрібно нічого іншого, крім як взяти в руки пера, сісти, подібно бухгалтерам, за свої конторки і сказати: давайте-ка обчислювати! " Лише через півтораста років почалося здійснення ідей Лейбніца. У 1847 році ірландський вчений Джордж Буль друкує "Математичний аналіз логіки", де вперше викладає числення висловів - так звану алгебру логіки. "Той, хто знайомий із сучасною алгеброю, - зауважує автор, - знає, що правильність аналітичної процедури не залежить від тлумачення символів. -Тому Один і той же прийом може дати при одному тлумаченні рішення проблеми теорії чисел, при іншому - вирішення проблеми геометрії, при третьому - рішення проблеми динаміки або оптики і так далі ". У булевої алгебри буквами позначаються висловлювання, причому самі громіздкі й заплутані логічні побудови зводяться до простих арифметичних дій.
Вторгнення формул і рівнянь мало для логіки настільки ж вирішальне значення, як і поява літерних позначень для математики. Архімед, Евклід, Діофант і інші титани античної математики не користувалися мовою формул. Ні, не тому, що не хотіли. Вони його не знали. І викладали свої думки в словах і малюнках. Геометр перед геометром зображував паличкою на піску квадрат. Потім проводив всередині нього хрест-навхрест дві риси, що відсікали від квадрата по рівній довгастої окраєць справа і знизу. Перетинаючись, лінії утворили в правому нижньому кутку маленький квадратик. І будь-хто, хто дивився на малюнок, - грек чи, римлянин або араб, - навіть не знаючи мови, розумів без слів: квадрат суми двох величин дорівнює сумі квадратів цих величин, складеної з подвоєним твором першої величини на другу. Найважче було пояснити, чому дорівнює куб суми. Доводилося креслити куб, виокремлювати з нього менший куб і потім підсумовувати об'ємні часточки. Зате четверту ступінь суми наочно пояснити не вдавалося, не кажучи вже про п'ятої, шостої і так далі. Геометрія пасувала. Тим часом за допомогою буквених позначенні за формулою бінома Ньютона можна без проблем підрахувати суму двох членів, зведену в будь-яку ступінь:
(А + b) ^ 2 = а ^ 2 + 2аb + b ^ 2;
(А + b) ^ 3 = а ^ 3 + 3 * а ^ 2 * b + 3а * b ^ 2 + b ^ 3;
(А + b) 4 = а ^ 4 + 4 * а ^ 3 * b + b * а ^ 2 + 4а * b ^ 3 + b ^ 4
І так далі. Коментарі зайві: переваги говорять самі за себе. А тепер учитаємося в незвичайну надгробний напис: Подорожній! Тут прах був похований Діофанта. І числа розповісти можуть, о диво, як довгий був століття його життя. Шосту частину його становило прекрасне дитинство, двунадесятих частина протекла ще життя - покрився пухом тоді підборіддя. Сьому в бездітному шлюбі провів Діофант. П'ятиріччя минуло; він був ощасливлений народженням прекрасного первістка сина, Якому рок половину лише життя прекрасної і світлої дав на землі по сравненью з батьком. І в печалі глибокої старець земного спадку кінець восприял, переживши року чотири з тих пір, як сина позбувся. Скажи-ка, скількох років життя досягнувши, смерть восприял Діофант?
Ну-ка вирішите задачу в розумі, розмірковуючи - і тільки, не вдаючись до послуг пера і паперу. Що, важкувато? Гаразд, давайте краще втіснем співучий гекзаметр в строгу метрику формул.
x / 6 + x / 12 + x / 7 + 5 + x / 2 + 4 = x
Це рівняння з одним невідомим вирішується в два рахунки. Відповідь: "прекрасне дитинство" майбутнього великого математика закінчилося в чотирнадцять років. У двадцять один рік Діофант зіграв весілля, в тридцять вісім у нього народився син, який помер сорока двох років, коли самому Діофантом стукнуло вісімдесят. Нарешті, на вісімдесят четвертому році великий грек пішов з життя. Його не стало (хоча це вже не випливає з нашого рівняння) в III столітті нової ери. Евклід і Аристотель жили і творили в III столітті до нової ери. І незважаючи на те, що біографії великих мислителів розділяє більш полутисячелетія, за часів Діофанта ще не народилася алгебра - та сама, яка дозволяє нам настільки хвацько розправлятися з важкими арифметичними завданнями.
Як прискорився прогрес, наскільки багатшими стали можливості математики, коли встала на ноги і остаточно утвердилася алгебра, відразу ж набула права громадянства! А сталося це в епоху Відродження - через тисячі років після появи геометрії і арифметики.
Що стосується логіки, теж вельми поважної бабусі ( "Органон" Аристотеля створений приблизно в один час з "Початками" Евкліда), то тут алгебра не відразу отримала визнання. Символіка і операції математичної логіки припали чи не до смаку, то чи не по зубам логікам середини XIX століття. А хто подужав булеву алгебру, десятиліттями вважали її цікавим, однак нікчемним винаходом дозвільного розуму. Положення змінилося лише до кінця XIX століття, коли перед наукою на повний зріст піднялася серйозне завдання - обгрунтувати найкардинальніші ідеї і поняття математики. Аристотелева логіка, при всьому її досконало, змушена була скласти зброю перед нездоланними труднощами. Тут-то і довелося йти на уклін до логіки символічної. І зрозуміло чому.
Свого часу, розбираючи стос відгуків на статтю "Слідами логічних катастроф", надруковану в журналі "Техника - молодежи", автор виявив масу спростувань всіх знаменитих парадоксів. У тому числі парадоксу Сервантеса. Щиро співчуваючи бідоласі Санчо, щосили намагаючись йому підсобити, читачі пускалися на всілякі казуїстичні хитрощі. Одні вишукували смислові лазівки в формулюванні закону. Інші - в заяві дивакуватого прибульця. Треті - в процедурі виконання вироку. Що ж, декому це вдавалося. Вдавалося остільки, оскільки в статті фігурувала популярна версія парадоксу з усіма атрибутами реальної життєвої ситуації. Зате сформульоване в термінах математичної логіки з їх однозначної трактуванням, що не допускає ніяких двозначностей, Протиріччя постало б перед нами у всій його фатальною, невблаганною, неминучою, незнищенною суті. '' Зрозуміло, симпатії вчених притягувала і притягує не тільки ця строгість і однозначність визначень, що ховається за символами математичної логіки. Звівши побудова силлогизмов до літерним перетворенням, булева алгебра звільнила людину від необхідності тримати в голові зміст посилок і проміжних висновків. Вся турбота звелася до спостереження за правильністю алгебраїчних викладок, що нагадують рішення системи рівнянь, А таку премудрість здатний осягнути навіть школяр.
Так, далеко зробили крок вперед математика і логіка з часів Зенона і Аристотеля. Появилась и успешно развивается теория доказательств - метаматематика. И тем не менее, несмотря ни на что, парадоксы с невозмутимостью Сфинкса, сквозь загадочно-насмешливую маску каменного колосса продолжают взирать на все ухищрения логистов, как они тысячелетия назад смотрели на наивные потуги опровергателей. Есть ли выход из тупика? Если да, то где он? Неужели есть вещи, недоступные человеческому разуму?
Бессильная в своем могуществе, математическая логика в недоумении разводит руками. "Ну и что? - пожмет плечами читатель. - Разве из-за этих сугубо теоретических, лучше даже сказать, надматематических изъянов хуже действуют столь мощные практические инструменты, как, например, дифференциальное и интегральное исчисление? Или вы забыли, какие чудеса творит кибернетика? То ли будет впереди! А вы все толкуете о каких-то там парадоксах..." Спору нет, успехи современной математики грандиозны. Кибернетики - тоже. Электронные машины вторглись в заповедные области человеческого интеллекта. Нынче они навострились не только доказывать известные теоремы, но даже... формулировать новые!
Работая по программе, составленной американским ученым Ваном Хао, универсальная цифровая машина ИБМ-704 за восемь минут тридцать секунд доказала все триста пятьдесят теорем, что составляют целых девять глав в монографии Рассела и Уайтхеда "Основания математики"! Этим дело не ограничилось. Ван Хао так запрограммировал машину, чтобы она не просто доказывала или опровергала математические предложения, заданные человеком, а сама занялась научным творчеством. И машина охотно принялась печатать одну за другой новые теоремы... Так, может, эра машинного мышления знаменует собой начало полного раскрепощения математики от логических несуразностей? Послушаем специалистов. "Имеется ряд результатов математической логики, - говорит А. Тьюринг, автор книги "Может ли машина мыслить?", - которые можно использовать для того, чтобы показать наличие определенных ограничений возможностей машин... Наиболее известный из этих результатов - теорема Гёделя... Существуют определенные вещи, которые эта машина не может выполнить. Если она устроена так, чтобы давать ответы на вопросы, то будут вопросы, на которые она или даст неверный ответ, или не сможет дать ответа вообще, сколько бы ни было ей предоставлено для этого времени".
А вот какого мнения придерживается "отец кибернетики" Норберт Винер: "Всякая логика ограничена вследствие ограничений человеческого разума, которые обнаруживаются при том виде его деятельности, который мы называем логическим мышлением. Например, в математике мы посвящаем много времени рассуждениям, включающим понятие бесконечности, но эти рассуждения и сопровождающие их доказательства в действительности не бесконечны. Всякое допустимое доказательство содержит лишь конечное число шагов... Доказательство есть логический процесс, который должен привести к определенному заключению через конечное число шагов. Напротив, логическая машина, действующая по определенным правилам, не обязательно должна прийти когда-либо к заключению. Она может продолжать проходить через различные шаги, никогда не останавливаясь; при этом она будет либо совершать последовательность действий все увеличивающейся сложности, либо повторять один и тот же процесс, подобно вечному шаху в шахматной партии. Это действительно имеет место в случае некоторых парадоксов Кантора и Рассела". Значит, и машины пасуют перед логическими парадоксами? Если бы только перед парадоксами...
Недавно вышла в свет прелюбопытнейшая книжица М. Таубе "Вычислительные машины и здравый смысл. Миф о думающих машинах". Там сказано: " В свете теоремы Гёделя о неполноте элементарной теории чисел существует бесконечное множество задач, которые принципиально неразрешимы этими машинами, как бы сложна ни была их конструкция и как бы быстро они ни работали. Очень может быть, что человеческий мозг - это тоже "машина" с присущими ей ограничениями и с неразрешимыми для нее математическими проблемами. Даже если это так, то человеческий мозг воплощает в себе систему операционных правил, значительно более могущественную, чем у мыслимых в настоящее время машин. Так что в ближайшем будущем не видно перспектив замены человеческого разума роботами". Неужели и тут "движенья нет"? Прежде чем окончательно уяснить неутешительный вывод Таубе, давайте разберемся, о какой ограниченности машины по сравнению с человеком твердят кибернетики. Если верить историческому анекдоту, Архимед открыл свой знаменитый закон гидростатики нежданно-негаданно - лежа в ванне. Взволнованный внезапно осенившей его идеей, ученый, забыв одеться, побежал по улицам Сиракуз с криком: "Эврика!"
Отголосок этого восклицания великого эллина через двадцать с лишним веков зазвучал в слове "эвристика". Таким термином современные ученые пользуются, когда говорят о характерных особенностях человеческого мышления. Инженер денно и нощно бьется над какой-нибудь технической головоломкой. Он уже изрисовал чертежами ворох бумаги, он перечитал груду книг, он прибегал и к моделям и к расчетам. Увы, нужная конструкция "не вытанцовывается". Проходят часы, дни, недели... Мысль зашла в тупик. И отвязаться-то от идеи не отвяжешься: она неотступно стоит перед внутренним оком изобретателя. Вдруг... "Эврика!" И на бумагу ложится выстраданная бессонными ночами долгожданная находка. "Внезапное озарение", - говорит инженер. "Эвристическая деятельность", - говорят ученые. Технология этого мучительного и радостного творческого процесса - величайшая загадка природы. К пионерам науки об эвристике относят Декарта и Лейбница, великих математиков и философов своего времени. В их сочинениях эвристика зачастую отождествляется с интуицией. В книге "Правила для руководства ума" Рене Декарт четко отграничивает интуитивную форму познания от цепи последовательных логических умозаключений. Он рекомендует в ряде случаев "отбросить все узы силлогизмов, вполне довериться интуиции как единственно остающемуся у нас пути". О неосознаваемых сторонах мыслительного процесса, наряду с его логической структурой, говорили Бенедикт Спиноза, и Анри Пуанкаре, Альберт Эйнштейн и А. Колмогоров. Ситуации, когда нет готового алгоритма, готового набора правил для решения задачи, возникают на каждом шагу - в работе шахматиста и писателя, следователя и режиссера, врача и экономиста, А порой и вовсе не известно, разрешима ли задача вообще. Какими же путями бредет ищущая человеческая мысль?
Систематический перебор вариантов - вот что считалось одно время основой творческого процесса. На эту идею опиралось и конструирование кибернетических соперников человека, например электронных шахматистов. Но странное дело: машина проигрывала даже не ой каким сильным партнерам! А странное ли? Количество всевозможных позиций в шахматных партиях выражается невообразимо - чудовищно - огромным числом - единицей со ста двадцатью нулями! Надо сказать, что атомов во вселенной в миллиарды миллиардов раз меньше. Если бы вы в поисках наилучшего ответа на ход противника механически перебирали в уме все возможные ходы и их последствия, вы бы попали в такой цейтнот, что поседели бы за шахматной партией, так и не добравшись до эндшпиля. Между тем турнирный регламент отпускает, как известно, всего два с половиной часа на сорок ходов. И игроки укладываются в сроки. Значит, человек умеет какими-то неисповедимыми путями отсеивать никчемные варианты. И даже далеко вперед рассчитывать последствия необычных жертв. Вспомните изящные комбинации Морфи или Алехина! Машина же, при всем ее быстродействии, чаще всего занимается формальной комбинаторикой, далекой от подлинно творческой работы мысли. Правда, многое зависит от программы. Но вернемся к рассуждениям Таубе о возможном, вернее, о невозможном для умных машин.
"Гигантский искусственный мозг, машины-переводчики, обучающиеся машины, играющие в шахматы, понимающие машины и т. п., заполнившие нашу литературу, обязаны своим "существованием" людям, пренебрегающим сослагательным наклонением. В эту игру играют так. Сначала заявляют, что, если не учитывать незначительные детали инженерного характера, машинную программу можно приравнять самой машине.. Затем блок-схему программы приравнивают самой программе. И наконец, заявление, что можно составить блок-схему несуществующей программы для несуществующей машины, означает уже существование самой машины". Автор, правда, поясняет свою мысль на примере электронных переводчиков, а не шахматистов, но сути дела это не меняет. Итак, машине чужда интуиция. И если машине суждено переводить, то лишь формально. Между тем язык невозможно формализовать целиком и полностью. Хотя бы потому, что он включает в себя всю математику, а математика не сводится к формальной системе, это доказано. "Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству, - говорит американский ученый Рихард. Курант. - Ее основные и взаимно противоположные элементы - логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность. Как бы ни были различны точки зрения, питаемые теми или иными традициями, только совместное действие этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математической науки". Самые строгие формалисты никогда всерьез не отрицали участия человеческой интуиции даже в тех математических выкладках и умозаключениях, когда ее вроде бы и не требовалось! (Слово "интуиция", замечает Таубе, употребляется здесь в смысле ничуть не более таинственном, чем обычные слова: "опыт", "ощущения".) Сказать "человек переводит неформально" - значит подчеркнуть, что в каждом акте перевода он пользуется своим арсеналом опыта и чувств. Кое-кто мог бы возразить: дескать, словесное выражение опыта и чувств - это уже не что иное, как их формализация! Отвечая на такой выпад своему предполагаемому оппоненту, Таубе приводит контраргумент: нет ни малейшего намека на то, что опыт и чувства можно исчерпывающе полно и абсолютно точно выразить словами. На эквивалентности всего словесно выразимого нашему опыту и чувствам способен настаивать только тот, кто отрицает свою принадлежность к человеческому роду, кто никогда не слушал музыку, не имеет представления о живописи, никогда не влюблялся и не был ничем глубоко захвачен. Вывод: переводить формально с одного человеческого языка на другой невозможно. А машина способна переводить только так, ведь ей чужда интуиция! Значит, "в свете известной неформальности языка и смысла, изыскания в области машинного перевода носят характер не истинно научных исследований, а романтического поиска... Нашим инженерам-электрикам и энтузиастам вычислительных машин следует либо прекратить болтовню об этом, либо принять на себя серьезное обвинение в том, что они сочиняют научную фантастику с целью пощекотать читателям нервы в погоне за легкими деньгами и дешевой популярностью".
Так считает Мортимер Таубе, профессор Колумбийского университета, специалист по программированию и применению электронных машин в области научной информации. Здесь было бы неуместно ввязываться в спор с профессором Таубе, это не входит в цели нашего разговора о логических несуразицах. Профессор, по-видимому, чуточку переборщил в своих пессимистических прогнозах, хотя в чем-то он, безусловно, глубоко прав. Нам гораздо важнее усвоить, что парадоксы отнюдь не забавные словесные выкрутасы, а самый настоящий пробный камень совершенства нашей мыслительной схемы.
Да, трудности, связанные с пониманием непрерывности, бесконечности, движения, еще в древние времена служили предметом жарких философских дискуссий. И это не прошло бесследно для научного прогресса. Апории Зенона, открытие иррациональных точек смутили античных геометров, помешали им развить искусство численных операций, заставили их искать выход из тупика в дебрях чистой геометрической аксиоматики. Стремление дать строгое непротиворечивое обоснование всем логическим и геометрическим построениям поглотило силы лучших умов древней Греции. Так, по словам Куранта, началось одно из самых странных и долгих блужданий в истории математики. При этом, по-видимому, были упущены богатые возможности. Груз древнегреческих геометрических традиций подавлял идею числа, он затормозил эволюцию арифметики и алгебры, цифрового и буквенного исчисления, ставшего позднее фундаментом точных наук. Лишь в XVII столетии греческий идеал кристально чистой аксиоматики и дедукции, строгой в своей систематичности, потускнел в глазах ученых. Логически безупречное мышление, отправляющееся от отчетливых определений и "очевидных", взаимно не противоречащих постулатов, уже не импонировало революционному духу новой математики. Предавшись оргии интуитивных догадок, слепо вверяясь сверхчеловеческой силе формальных процедур, пионеры дифференциального и интегрального исчисления открыли новый математический мир, полный несметных богатств. Однако мало-помалу экстатическое состояние ума, упоенного головокружительными успехами, стало уступать место трезвости, сдержанности, критицизму. В XIX веке устои новой математики подверглись ревизии. Были предприняты энергичные попытки уяснить понятие предела, подразумеваемое математическим анализом. Классический идеал доказательной строгости, логической безупречности, отвлеченной общности торжествовал снова. Но тут, как и во времена Зенона, на арену теоретических исканий вдруг высыпала анархическая гвардия парадоксов. Ученые снова заметались в тревоге, спасая пошатнувшееся здание математики. Кризис продолжается и по сей день. Обратите внимание, насколько парадоксальна сама история парадоксов. Атомистическая математика, игнорировавшая парадоксы и приводившая к ошибкам, оказывается более плодотворной, нежели математика, построенная на принципе непрерывности, тяготеющая к строгим обоснованиям и устраняющая ошибки атомистов! Так обстояло дело не только в глубокой древности. "С конца XVI века учение о непрерывности являлось характерной чертой схоластического застоя, - отмечает уже цитированный в этой главе профессор С. Я. Лурье, - борцы за возрождающуюся науку, став на точку зрения математического атомизма, привели математику к небывалому расцвету, создав заново ряд дисциплин. Однако и эти ученые сделали ряд ошибок и произвольных допущений: математики XIX века, став последовательно на точку зрения непрерывности пространства, исправили эти ошибки дав методологию предельной процедуры." И профессор Лурье, исходя из диалектичности научного прогресса, предсказывает "возможность нового расцвета математики на почве возрождения нового математического атомизма - несравненно более совершенного, чем учения не только Демокрита, но также Кепплера, Кавальери, Ньютона и Лейбница".
Эти слова произнесены в тридцатые годы. И содержащаяся в них идея кое-кому может показаться архаичной, отвергнутой всем ходом развития современных наук. Нет, тысячу раз нет!
Откроем монографию А. Н. Вяльцева "Дискретное пространство-время", изданную в 1965 году. Эта книга являет собой редкостное сочетание научной глубины и популяризаторского блеска в изложении темы, которую никак не назовешь тривиальной, ибо она вот уже не первый десяток лет лежит в стороне от обычных исследовательских и тем паче журналистских троп. Почитайте ее и поразмыслите над такими словами ее автора: "Современный математический анализ по праву можно назвать теорией непрерывных процессов. Возможность непрерывного движения принимается при этом как нечто данное свыше. По существу жа во всех относящихся к делу случаях речь идет о способности движущихся тел достигать разумной цели. Достаточно напомнить в этой связи о Диогене, который в ответ на заявление Зенона о том, что непрерывное движение невозможно, начал ходить взад и вперед перед своей бочкой, демонстрируя одновременно и чувственную реальность движения и убожество своего мышления. В математическом анализе факт достижения разумных целей воплощен в понятии предельного перехода. Именно эту черту математического анализа следует считать главной причиной успешного применения его в области физики, и значит, надо признать, что непрерывный анализ решает проблемы физики чисто по-диогеновски.
Применение дифференциального исчисления к подсчету электрического заряда тел, периода радиоактивного распада ядер и некоторых других прерывных эффектов дает хорошие результаты, хотя ни в атомистической природе электричества, ни в дискретном характере радиоактивного излучения никто из нас никогда не сомневался. Дееспособность непрерывного математического анализа должна, как можно думать, потерпеть крах на той стадии познания природы, когда дискретность мира станет существенной чертой его математической картины. По всей видимости, современная физика уже стоит на пороге этой стадии... Тогда придется оторваться от классической почвы, отказаться от помощи классических "лесов" и вступить в область оригинального математического творчества - в собственную область математики дискретного мира. Эта новая математика, надо думать, будет находиться по отношению к классической примерно в том же положении, в каком квантовая физика находится к классической физике, то есть будет сводиться к ней, но не выводиться из нее. Для продвижения вперед потребуется поэтому деятельность умов гениальных. Поприще для них, возможно, окажется не менее широким, чем в случае классической математики, то есть работы хватит на несколько поколений. В практической возможности новой математики сомневаться не приходится: ведь это будет математика реального, живого, окружающего нас и составляющего нас мира. Что касается внутренней привлекательности новой математики, то и в этом отношении дискретная математика нисколько не уступает непрерывной. Истины дискретной математики привлекают к себе своей таинственностью и поразительной красотою.
Какая это заманчивая задача - создать новую математику, опираясь на великий свод математики классической! Как важно для математиков, особенно молодых, понимать, где лежат еще не разработанные карьеры их науки; как важно для них знать, что математический аппарат еще ждет своих Лагранжей и Гамильтонов!"
Здесь опять-таки для нас интересны не столько пути, которыми пойдет математика будущего, сколько сам факт: математика, как и логика, никогда не была чем-то законченным, завершенным, застывшим в своем развитии. И сегодня она не представляет собой каталог готовых истин. Напротив, ее ждут новые откровения и разочарования, новые революции и спады, новые драматические столкновения идей, в которых, словно в горниле, будут выкристаллизовываться новые истины. Мы стоим в преддверии века автоматики. Человек твердо намерен построить машину, способную мыслить и творить, невзирая ни на какие теперешние логические ограничения. Но для этого мало овладеть в совершенстве уже имеющимся логическим аппаратом. Требуются широкие исследования путей и способов, какими идет человеческий мозг в своем стремлении достигнуть истинного знания. Как далек век Ньютона от века Зенона! Но еще дальше ушли мы от века Ньютона. По объему накопленных знаний. Между тем о технологии своего мышления Бертран Рассел и Курт Гёдель смогли бы рассказать едва ли больше, чем Зенон и Аристотель. Иными словами, нам известно все, что следует за восклицанием: "Эврика!" Но нам еще предстоит узнать то, что ему предшествует - в недрах человеческого мозга. Мы знаем законы политической экономии, открытые Марксом, но пока мы не знаем законов эвристической деятельности, приемов 5 и способов мышления, которые привели Маркса к его гениальным открытиям. Ведь каждое выдающееся открытие является вместе с тем и шагом вперед в развитии техники мышления. Ленин писал, что если Маркс не оставил "Логики" (с большой буквы), то он оставил логику "Капитала". Если бы удалось овладеть приемами и способами мышления Маркса, насколько ускорился бы прогресс в самых разных областях науки - в биологии, геологии, языкознании, многих иных! В том числе и в самой логике. Думается, приведенных примеров достаточно, чтобы составить впечатление об огромной и практической пользе логики. Недаром Джордж Томсон, английский ученый, автор нашумевшей книги: "Предвидимое будущее", заявил: "...наш век знаменует собой начало науки о мышлении". И эта наука не стоит на месте.

А як же все-таки бути з парадоксами? Невже обмеженість математики і кібернетики нездоланна? Замість відповіді дозвольте переказати повчальну притчу-парадокс, яка з'явилася на початку сорокових років і з тих пір не менш десяти разів дискутувалася в серйозному філософському журналі "Майнд", виданому в Великобританії. Жив-був пірат на прізвисько Чорна борода. Довго тримав він в страху торгові кораблі. В один прекрасний день грізний морський браконьєр опинився за гратами. Його засудили до повішення. "Страта здійсниться опівдні, в один з семи днів наступного тижня, - сказав суддя злочинцеві. - І ми заготовили для тебе маленький сюрприз: ти не будеш знати заздалегідь, в який саме день тебе піднімуть на шибеницю. Про це тобі повідомлять лише вранці того самого фатального дня, коли перед тобою розверзнуться сили адові. Так що тебе спіткає несподіване відплата ". Суддя вважався людиною слова. І Чорна борода спохмурнів, відмінно уявляючи собі, що таке болісна невідомість очікування раптової смерті. Тепер уже йому не заснути спокійно ні в одну з ночей. Ох, і жорстокий ж він був людина, цей суддя! Однак адвокат пірата тільки посміювався. "Не вішай носа! - Ляснув він по плечу свого підзахисного, коли вони залишилися вдвох. - Вирок здійснити неможливо". Чорна борода витріщив очі. "Так-так, неможливо, - продовжував адвокат. - Цілком очевидно, що вони не зможуть повісити тебе в наступну суботу. Бо п'ятниця - останній день тижня. І якби ти залишався цілий і неушкоджений в п'ятницю після полудня, то ти збагнув би з повною впевненістю, коли саме буде приведений у виконання вирок, - на інший день, в суботу. Таким чином, ти знав би про час страти напередодні, тобто раніше, ніж тобі повідомили б про це в суботу вранці. Залишається п'ятниця. А тепер поміркуй -ка: адже п'ятниця - останній день перед суботою. в суботу тебе не повісять. Виходить, кара повинна бути призначена найпізніше на п'ятницю. Але вони не мають права так вчинити, бо ти знову знав би про це вже в четвер після полудня! Зрозуміло, що в п'ятницю тобі теж не загрожують ніякі неприємності. Залишається начебто четвер. Зовсім ні! про страту в четвер ти знав би знову-таки напередодні - в середу. Тоді, можливо, середа? теж ні: про свою загибель в цей день ти знав би у вівторок. І так далі - аж до завтрашнього дня. Але завтра вони тебе не повісять, бо ти вже сьогодні знаєш, що завтрашній день - останній, коли має здійснитися правосуддя. Тому лягай спати і будь спокійний: вирок неможливий "." Тисяча чортів! - Зрадів пірат, вражений залізною логікою адвоката. - Не будь я Чорної бородою, якщо ви не праві, сер! "Старий розбійник несподівано вислизнув з-під меча, занесеного караючої правицею Феміди. Так принаймні вважали багато вчених аж до 1951 року, як раптом ... У липні того ж року в тому ж журналі "Майнд" з'явилася стаття професора логіки Майкла скривився. Ось її суть, передана в тих же образах. в один із днів на наступному тижні, здається, в "чорну п'ятницю", безтурботно спав пірата розбудив дзвін ключів. Двері камери відчинилися зі скрипом. "Ви прийшли мене звільнити?" - посміхнувся пірат і ... обімлів: разом з тюремщиком в камеру увійшов кат. "Ми прийшли сказати тобі, що страта призначена на сьогодні", - з похмурою незворушністю відповіли гості. ' " але на якій підставі ?! "- обурився Чорна борода. Дійсно, на якій підставі? Невже помилився адвокат, цей доку по частині казуїстичних вивертів? Ні, не помилився. Його висновки були бездоганно правильними. І з них абсолютно невідворотно випливало наслідок, іменоване логічним про протиріч - парадоксом. Але ... Ох, вже це всюдисуще "але"! Без нього не обійшлося і тут, де начебто все з такою ясністю, з такою логічною прозорістю свідчило про безсилля зако-нів перед анархією парадоксу. А тим часом людська реальність виявилася сильнішою логічного парадоксу. Коли адвокат переконав пірата в безкарності, Чорна борода, впевнений в логічної помилки судді, перестав чекати приготував йому розплати. Стало бути, візит ката і попередження про термін страти дійсно були несподіванкою для злочинця! Перечитайте ще раз вирок, і ви переконаєтеся, що він приведений у виконання в повній відповідності з законом, причому не тільки юридичним, але і логічним. Чи не чекає така ж безславне смерть і теперішні логічні парадокси? Чи не підпише їм смертний вирок наука завтрашнього дня? "Ні!" - Мовить холодний розум, сліпо підкоряється кодексу нинішньою логікою і беззастережно капітулює перед парадоксами. Так міркував Зенон Елейський. Так міркував Курт Гедель. Так міркує і Мортімер Таубе, доводи якого журнал "Знання - сила" охрестив "запереченнями адвоката диявола". Але ж так само точно міркував і самовпевнений адвокат з розповіді про Чорної бороди! І осоромився, спростований живою реальністю. До речі, про "адвоката диявола". Відповідно до вимог католицької релігії до лику святих міг бути зарахований лише той, хто ще до свого "успіння", до своєї кончини, встигав здійснити мінімум два чуда. І ось преподобні отці приступали до обряду канонізації, влаштовуючи інсценоване судилище, де фігурував "адвокат диявола". Він ставив під сумнів чудеса, вимагав доказів їх звершення. Саме так скептик Таубе, апелюючи до диявольського спадщини парадоксів, сумнівається в сенсаційних успіхи кібернетики і не менше в обіцянках її ентузіастів, вимагає довести реальність кібернетичних чудес, картинно розписаних в численних статтях і книгах. Ентузіасти, зрозуміло, недолюблюють скептиків. А адже критика, що виходила від скептиків, не раз допомагала ентузіастам стати точніше, виразніше, суворіше в висновках, що в кінцевому рахунку йшло на користь науці. І проблема, яка зайшла в глухий кут, рано чи пізно виявлялася зрушеною з мертвої точки.
У 1900 році в Парижі відбувся міжнародний математичний конгрес. На ньому відомий вчений Давид Гільберт виклав тридцять математичних проблем. Формулювалися вони надзвичайно просто, часом навіть зовсім елементарно і популярно. Однак жодна з них в той час не була вирішена. Більш того: не подавала надії на можливість вирішення. Минули десятиліття. За цей час мало-помалу майже всі "нерозв'язні" завдання були вирішені. І в багатьох випадках завдяки тому, що математики, розбурхані проблемами Гільберта, збагатили науку новими, більш глибокими, більш досконалими методами. Те, що здавалося безнадійно важким в 1900 році, стало по плечу нової математики. Невже ж безперервний прогрес в математичній логіці не призведе рано чи пізно і до вирішення парадоксів? Вже досягнуто певних успіхів в цьому напрямку. (Наприклад, створена Расселом "теорія типів" в якійсь мірі знешкоджує парадокс цирульника.) Так, саме скептики не раз допомагали ентузіастам зрушити науку з мертвої точки. Парадоксально, але безсумнівно - щоб почався рух, треба було сказати:
- Руху немає!