Система для гри в рулетку Дональд-Натансон

У наші дні старовинна система Томас Дональд піддалася критичному перегляду з боку серйозного математика Льва Натансона. Він міркував так:

Я завжди ставлю на червоне. Припустимо, початкова ставка - 1 долар. Після випадання чорного я збільшую ставку на одиницю, а після випадання червоного - зменшую на одиницю. Але що мені робити, якщо я поставив долар на червоне і виграв? Згідно Т.Дональду, ставка повинна залишатися незмінною, тому що ні нульових, ні негативних ставок не буває. А власне, чому? - Подумав математик. І спробував: вийшло досить цікаво.

Щоб не відступати від канонів системи, після ставки на червоне і виграшу, ставку потрібно зменшити на одиницю. Якщо ви ставили 1 $, наступна ставка повинна бути рівна нулю. Що таке нульова ставка, зрозуміло: черговий запуск рулетки ви просто пропускаєте. Але при цьому нуль саме на червоне і уважно стежте за тим, що випаде, - щоб знати, як поставити в наступний раз. Припустимо, знову випало червоне. Ви виграли і повинні знову зменшити ставку. Наступна ставка (по системі) повинна дорівнювати -1 (мінус одиниці).

А що таке негативна ставка на червоне? Це - ставка на чорне! Що б не трапилося в подальшому, правило тільки одне: при випаданні чорного ставка збільшується, при випаданні червоного - зменшується.

Нехай, наприклад, при трьох перших запусках рулетки весь час випадає червоне. Після першого запуску ми виграли 1 $, вдруге "ставимо нуль", а в третій - мінус 1 $ (долар на чорне). Перед четвертим запуском ми повинні опустити ставку до мінус 2 $. Ставимо 2 $ на чорне.

Можна довести, що якщо з 2 N запусків рулетки червоне і чорне випадають по N раз, то виграш складе рівно N початкових ставок. Незалежно від числа випадінь червоного (і відповідно, чорного) виконується "властивість інваріантності": послідовність, в якій червоне чергується з чорним, на розмір виграшу не впливає. Припустимо, рулетка запущена 36 разів. Ваш дохід (позитивний або негативний) показаний нижче.

Число випадінь червоного 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Дохід -22 -6 +14 +18 +14 +6 -6 -22

Наприклад, якщо червоне випало 20 разів, то при початковій ставкою 1 $ виграш складе 14 $. Якщо червоне випало лише 17 разів, ви також виграєте 14 $. Цікаво, що розподіл доходу симетрично щодо середини таблиці.

У таблиці відображені тільки ті випадки, коли частоти випадання червоного і чорного відрізняються незначно (при інших "розкладах" ви крупно програєте). Саме на близькість цих частот і розраховував Т.Дональд. Натансон лише пішов по його стопах і "посилив" систему. Щоб завершити картину, згадаємо про zero.

За Т. Дональду, при випаданні zero наступну ставку треба збільшувати. У модифікації Натансона її треба збільшувати по модулю. Іншими словами, якщо ставка позитивна, її слід підняти на одиницю, якщо негативна - опустити. На жаль, поява zero порушує красиве властивість інваріантності, і визначити ваш дохід однозначно не вдається. Обмежимося випадком, коли з 36 запусків рулетки zero випадає рівно один раз.

Нехай при випаданні zero ставка була позитивною. Тоді zero повністю еквівалентно чорному, тому дохід визначається за тією ж таблиці, що і раніше. Наприклад, при 20 випаданнях червоного, 15 чорного і 1 zero виграш складе 14 $. Тільки не думайте, що zero ні на що не впливає: воно зменшує очікуване число випадінь червоного.

Zero може випасти і при негативній ставкою. Тепер воно еквівалентно червоному. Якщо червоне випало 20 разів, то через zero число його появ фактично дорівнює 21. Замість 14 $ (згідно з таблицею) ми фактично виграємо тільки 6 $. Зате якщо червоне випало менше 18 разів, ваш дохід зростає.

І нарешті, zero може з'явитися при нульовій ставці. Можна вчинити як завгодно: при підйомі ставки zero буде еквівалентно чорному, при зменшенні - червоного. Але все ж подивіться на передісторію: якщо червоне випадало частіше, ніж чорне, варто збільшувати ставку, якщо рідше - навпаки. Таким чином ви як би зближує частоти випадання обох кольорів. Пан Дональд був би задоволений.